4 Matemática Aprofundamento De Funções

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Matemática Aprofundamento De Funções
1 Uma parte crucial na compreensão das funções é a identificação e compreensão do domínio, que representa quais valores de entrada são válidos para a função.
Considere a função f(x)=1/(x−2)�(�)=1/(�−2). Qual das seguintes alternativas representa corretamente o domínio dessa função?
A R.
B R \ {2}.
C [2, ∞).
D (-∞, 2).
E [-2,2].
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O domínio da função f(x) consiste em todos os números reais, exceto aqueles que tornam o denominado igual a zero. Nesse caso, x-2 não pode ser igual a zero, então x ≠ 2. Portanto, o domínio é R \ {2}.
2 Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma:
I. Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00;
II. 10% sobre a renda, menos 1.000,00,searendamensaldotrabalhadorforsuperiora1.000,00,����������������������ℎ����������������10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00.
III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00.
Se, para uma renda mensal igual a $x, o trabalhador recolhe I(x) de imposto, então é correto afirmar que:
A A função I é uma função constante.
B O domínio da função I é [10.000;+∞[[10.000;+∞[.
C A imagem da função I é [0,+∞[[0,+∞[.
D A imagem da função I é [0,1000]∪(4000,+∞[[0,1000]∪(4000,+∞[.
E Nenhuma das respostas anteriores.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é: A imagem da função I é [0,1000]∪(4000,+∞[[0,1000]∪(4000,+∞[.
Para entender isso, precisamos analisar as condições de recolhimento do imposto. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Neste caso, a imagem da função I representa os possíveis valores do imposto recolhido.
Para trabalhadores que recebem até 10.000,oimpostoé10.000,��������é0. Para aqueles que recebem entre 10.000e10.000�20.000, o imposto é 10% da renda, menos 1.000.Portanto,oimpostopodevariarde1.000.��������,��������������������0 a 1.000nesteintervalo.Porexemplo,seumtrabalhadorrecebe1.000��������������.����������,����������ℎ����������12.000, ele deve pagar de imposto 200,queécalculadocomo(10200,���é�������������(1012.000) - 1.000=1.000=1.200 - 1.000=1.000=200.
Para trabalhadores que recebem mais de 20.000,oimpostoé2020.000,��������é204.000 (20% de 20.000)epodeaumentarindefinidamente.Porexemplo,seumtrabalhadorrecebe20.000)����������������������������.����������,����������ℎ����������25.000, ele deve pagar 5.000deimposto,queécalculadocomo205.000���������,���é�������������2025.000 = $5.000.
Portanto, a imagem da função I é o conjunto de todos os possíveis valores do imposto recolhido, que é [0,1000]∪(4000,+∞[[0,1000]∪(4000,+∞[.
3 Seja f:R→R�:�→�, definida por: f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩−x−1,se x≤−1−x2+1,se−1=1
Escolhendo x=2 temos f(2)=2-1=1
Note que f(x) só poderá assumir valores positivos.
4 O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos.
Considere uma função f:R+ →R+ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x)=2f(x), para todo x ∈ R+. Se f(4)=8, qual é o valor de f(1).
A 1.
B 2.
C 4.
D 8.
E 16.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
f(2 x 2) = 2 x f(2)
8 = 2 x f(2)
f(2) = 8/2 = 4
 
Determinando f(1)
f(2 x 1) = 2 x f(1)
f(2) = 2 x f(1)
f(1) = 4/2 = 2
5 (EsPCEx, 2015) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função f(x)=√x2−6x+53√x2−4�(�)=�2−6�+5�2−43.
A R−{−2,2}�−{−2,2}
B (−∞,2)∪(5,+∞)(−∞,2)∪(5,+∞).
C (−∞,2)∪(−2,1)∪[5,+∞)(−∞,2)∪(−2,1)∪[5,+∞).
D (−∞,1)∪(5,+∞)(−∞,1)∪(5,+∞).
E (−∞,−2)∪[2,+∞)(−∞,−2)∪[2,+∞).
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a letra: (−∞,−2)∪(−2,1)∪[5,+∞)(−∞,−2)∪(−2,1)∪[5,+∞).
Para entendermos o porquê, precisamos considerar duas coisas: a função não pode ter denominador igual a zero e a raiz quadrada não pode ser de um número negativo, pois o resultado seria um número complexo e não real.
Primeiramente, o denominador da função não pode ser igual a zero, pois isso tornaria a função indefinida. Resolvendo a equação x2−4=0�2−4=0, obtemos x=−2�=−2 e x=2�=2, que são os valores que tornam o denominador zero e, portanto, estão fora do domínio da função.
Em seguida, consideramos a raiz quadrada no numerador. Para que a função seja real, o valor dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. Resolvendo a equação x2−6x+5=0�2−6�+5=0, obtemos x=1�=1 e x=5�=5. Portanto, os valores entre 1 e 5 resultam em uma raiz quadrada de um número negativo e, consequentemente, um número complexo. Assim, esses valores também estão fora do domínio da função.
Portanto, o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida é (−∞,−2)∪(−2,1)∪[5,+∞)(−∞,−2)∪(−2,1)∪[5,+∞).
6 Seja f:R→R,dada porf(x)=senx�:�→�,���� ����(�)=����. Considere as seguintes afirmações.
1. A função f(x) é uma função par, isto é, fx = f(-x), para todo x real.
2. A função f(x) é periódica de período 2π�.
3. A função f é sobrejetora.
4. f(0)=0,f(π3)=√32 e f(π2)=1�(0)=0,�(�3)=32 � �(�2)=1.
São verdadeiras as afirmações:
A 1 e 3, apenas.
B 3 e 4, apenas.
C 2 e 4, apenas.
D 1,2 e 3, apenas.
E 1,2,3 e 4.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
As afirmações corretas são a 2 e a 4.
A afirmação 2 está correta porque a função seno é uma função periódica, definida no círculo trigonométrico, e, por isso, possui um período de 2 𝜋.
A afirmação 4 também está correta. De acordo com o círculo trigonométrico, temos que: sen(0)=0, sen(𝜋/3)=sen(60)=√33/2, sen(90)=1.
A afirmação 1 está incorreta. A função seno não é uma função par, pois não se verifica que f(x) = f(-x) para todo x real.
A afirmação 3 também está incorreta. A função seno não é sobrejetora, pois seus valores estão limitados ao intervalo [-1,1], não abrangendo todo o conjunto dos números reais.
7 Seja f:R→R�:�→�, definida f(x)={3x+3,x≤0;x2+4x+3,x>0.�(�)={3�+3,�≤0;�2+4�+3,�>0.. Podemos afirmar que:
 
A f� é injetora mas não é sobrejetora.
B f� é sobrejetora mas não é injetora.
C f� é bijetora e f−1(3)�−1(3)=0.
D f� é bijetora e f−1(0)=1�−1(0)=1.
E f� é bijetora e f−1(0)=−2�−1(0)=−2.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Ao desenharmos o gráfico da função pedida notamos que ela é bijetora, ou seja, é uma função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Além disso, pode ser observado no gráfico que f(0)=3, logo f-1(3) = 0.
8 Três tipos importantes de funções são as injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Essas classificações são cruciais para compreender como as funções se comportam em termos de mapeamento de elementos.
Considere uma função f:R→R, onde f(x)=2x+1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre essa função?
A A função f é injetora, mas não é sobrejetora.
B A função f é sobrejetora, mas não é injetora.
C A função f é injetora e sobrejetora.
D A função f não énem injetora nem sobrejetora.
E A função f não é definida.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A função f(x)=2x+1 é injetora porque cada valor diferente de x resulta em um valor diferente de
f(x), e é sobrejetora porque para qualquer valor em R, existe um valor correspondente em R de acordo com f(x).
9 Funções periódicas têm um padrão que se repete em intervalos regulares, o que permite modelar fenômenos cíclicos. Considere a função f(x) definida em R que é periódica com período T=4, ou seja, f(x+4)=f(x) para x ∈ R. Se f(2)=5, qual é o valor de f(6)?
A 5.
B 2.
C 7.
D 9.
E 4.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
f(6)=f(2+4)=f(2)
Logo, f(6) = 5.
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