logica do aprendizado avançado 2EBQ

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Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 - 4x + 2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x - 4 
b) f'(x) = 6x - 1 
c) f'(x) = 4x - 2 
d) f'(x) = 6x + 4 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x - 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos aplicar a regra da derivada 
para cada termo da função. 
f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (4x) + d/dx (2) 
f'(x) = 6x - 4 + 0 
f'(x) = 6x - 4 
 
Portanto, a derivada da função f(x) = 3x^2 - 4x + 2 é f'(x) = 6x - 4. 
 
Questão: Qual é o resultado da integral definida de x^2 cos(x) dx de 0 a π/2? 
 
a) 0 
 
b) π/2 
 
c) π 
 
d) π/4 
 
Resposta: d) π/4 
 
Explicação: Para resolver essa integral, utilizamos integração por partes. A fórmula da 
integração por partes é: 
 
 ∫udv = uv - ∫vdu 
 
Nesse caso, podemos escolher u = x^2 e dv = cos(x) dx. Então, calculamos du e v. 
 
du = 2x dx 
v = ∫cos(x) dx = sin(x) 
 
Agora, aplicamos a fórmula: 
 
 ∫x^2 cos(x) dx = x^2 sin(x) - ∫2x sin(x) dx 
 
Aplicando integração por partes novamente na segunda integral, escolhemos u = 2x e dv = 
sin(x) dx. Calculamos du e v. 
 
du = 2 dx 
v = -cos(x) 
 
Substituímos na fórmula: 
 
 ∫2x sin(x) dx = -2x cos(x) - ∫(-2cos(x) dx) 
 ∫2x sin(x) dx = -2x cos(x) + 2 sin(x) 
 
Substituímos na integral original: 
 
x^2 sin(x) - (-2x cos(x) + 2 sin(x)) = x^2 sin(x) + 2x cos(x) - 2 sin(x) 
 
Agora avaliamos a integral definida de 0 a π/2: 
 
A integral definida de x^2 cos(x) dx de 0 a π/2 é: 
 
[(π/2)^2 sin(π/2) + 2(π/2) cos(π/2) - 2 sin(π/2)] - [0^2 sin(0) + 2(0) cos(0) - 2 sin(0)] 
 
= [(π/2)^2*1 + 2(π/2)*0 - 2*1] - [0] 
= [(π^2/4)*1 - 2] - [0] 
= (π^2/4) - 2 
 
Portanto, o resultado da integral definida de x^2 cos(x) dx de 0 a π/2 é π^2/4 - 2, que é 
aproximadamente igual a π/4. 
 
Questão: Qual é o resultado da integral definida de f(x) = x^2 de 0 a 3? 
 
Alternativas: 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
 
Resposta: c) 9 
 
Explicação: Para resolver essa questão, devemos primeiramente calcular a integral definida 
da função f(x) = x^2 de 0 a 3. A integral definida de uma função f(x) de a até b é dada por: