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\[ 
 \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = 
\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2} - 0\right] = \frac{\pi}{4}. 
 \] 
 
28. **Problema 28:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 - A) 2 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** A) 2 
 **Explicação:** Usamos a propriedade do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\). 
Assim, 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2. 
 \] 
 
29. **Problema 29:** Calcule a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\). 
 - A) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 - B) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) - \cos(x)) + C\) 
 - C) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 - D) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes ou a fórmula para integrais de 
funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas: 
 \[ 
 \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C. 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \int e^{-x} \cos(x) \, dx = \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C. 
 \] 
 
30. **Problema 30:** Encontre a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\). 
 - A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
 - B) \(\frac{2x^2}{1 + x^4}\) 
 - C) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
 - D) \(\frac{2}{1 + x^2}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}. 
 \] 
 
31. **Problema 31:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 - A) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 - C) \(\ln|x| + C\) 
 - D) \(\frac{1}{2} \ln|x| + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C\). 
 
32. **Problema 32:** Resolva a equação \(y'' + 4y = 0\). 
 - A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 - B) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 - C) \(y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\) 
 - D) \(y = C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 **Explicação:** A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é dada por 
 \[ 
 y = C_1 \cos(\sqrt{4}x) + C_2 \sin(\sqrt{4}x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x). 
 \] 
 
33. **Problema 33:** Calcule a integral \(\int x e^{3x} \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{3} e^{3x}(x - 1) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{3} e^{3x}(x + 1) + C\) 
 - C) \(\frac{1}{3} e^{3x}(x + 1) + C\) 
 - D) \(\frac{1}{3} e^{3x}(x - 1) + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{3} e^{3x}(x - 1) + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes: 
 Seja \(u = x\) e \(dv = e^{3x}dx\). Então, \(du = dx\) e \(v = \frac{1}{3} e^{3x}\). 
 Aplicando a fórmula de integração por partes: 
 \[ 
 \int u \, dv = uv - \int v \, du. 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \int x e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} + C = \frac{1}{3} e^{3x}(x - 
\frac{1}{3}) + C. 
 \] 
 
34. **Problema 34:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\). 
 - A) \(-\frac{9}{2}\) 
 - B) 0 
 - C) \(-\frac{3}{2}\) 
 - D) 1 
 
 **Resposta:** A) \(-\frac{9}{2}\)