Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. A integral é dada por: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Esta é a resposta correta, pois corresponde exatamente ao resultado da integral. B) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Esta não é correta, pois a integral não tem um fator de \(\frac{1}{2}\). C) \(\ln|x| + C\) - Esta também não é correta, pois a integral não resulta em um logaritmo. D) \(\frac{1}{2} \ln|x| + C\) - Novamente, não é correta, pois não corresponde ao resultado da integral. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\tan^{-1}(x) + C\).