Para calcular a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções exponenciais e trigonométricas. A integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\) resulta em uma expressão que envolve tanto \(\sin(x)\) quanto \(\cos(x)\). Ao resolver essa integral, obtemos: \[ \int e^{-x} \cos(x) \, dx = \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) - Esta está correta. B) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) - \cos(x)) + C\) - Esta está incorreta. C) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) - Esta está correta, mas é repetida. D) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\) - Esta também está correta, mas é repetida. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C\).