34. **Problema 34:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\). A) -\frac{9}{2} B) 0 C) -\frac{3}{2} D) 1

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\), podemos usar a expansão em série de Taylor para \(\cos(3x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(3x) \approx 1 - \frac{(3x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{9x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo isso na expressão do limite, temos: \[ \cos(3x) - 1 \approx -\frac{9x^2}{2} \] Assim, a expressão do limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{9}{2} = -\frac{9}{2} \] Portanto, a resposta correta é: A) -\frac{9}{2}