Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\), vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função inversa \(\tan^{-1}(u)\) em relação a \(u\) é \(\frac{1}{1 + u^2}\), e precisamos multiplicar isso pela derivada de \(u = x^2\). 1. Derivada de \(u = x^2\): \[ \frac{du}{dx} = 2x \] 2. Derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(u)\): \[ \frac{df}{du} = \frac{1}{1 + u^2} = \frac{1}{1 + (x^2)^2} = \frac{1}{1 + x^4} \] 3. Aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + x^4} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4} \] Portanto, a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\) é \(\frac{2x}{1 + x^4}\). A alternativa correta é: A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\).