exercicios feitos a mao DGFTX

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\int (1 + x^2) \, dx = x + \frac{x^3}{3} + C 
\] 
Avalie de 0 a 1: 
\[ 
\left[1 + \frac{1}{3}\right] = \frac{4}{3} 
\] 
 
**46.** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 2}{3x^2 + 1}\). 
a) \(\frac{5}{3}\) 
b) 0 
c) 1 
d) \(\infty\) 
**Resposta:** a) \(\frac{5}{3}\) 
**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x\) no denominador: 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{3} 
\] 
 
**47.** Resolva a equação \(2x^2 + 3x - 5 = 0\). 
a) \(x = 1\) 
b) \(x = -2\) 
c) \(x = \frac{1}{2}\) 
d) \(x = \frac{-5}{2}\) 
**Resposta:** a) \(x = 1\) 
**Explicação:** Usamos a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), 
resultando em duas soluções. 
 
**48.** Calcule a integral \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\). 
a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
b) \(\sec^{-1}(x) + C\) 
c) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
d) \(\ln|x| + C\) 
**Resposta:** a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
**Explicação:** Esta é uma integral conhecida que resulta em \(\tan^{-1}(x) + C\). 
 
**49.** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
a) 2 
b) 0 
c) 1 
d) 4 
**Resposta:** a) 2 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Portanto, neste caso, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 
\] 
 
**50.** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + x)\). 
a) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x}\) 
b) \(\frac{1}{x^2 + x}\) 
c) \(\frac{2}{x^2 + x}\) 
d) \(\frac{2x}{x^2 + x}\) 
**Resposta:** a) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x}\) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = \frac{1}{x^2 + x} \cdot (2x + 1) 
\] 
 
**51.** Calcule a integral \(\int \cos(2x) \, dx\). 
a) \(\frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
b) \(\sin(2x) + C\) 
c) \(\frac{1}{2} \cos(2x) + C\) 
d) \(-\sin(2x) + C\) 
**Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
**Explicação:** A integral de \(\cos(kx)\) é \(\frac{1}{k} \sin(kx) + C\). 
 
**52.** Determine o valor de \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
a) 1 
b) \(\frac{5}{3}\) 
c) 2 
d) \(\frac{2}{3}\) 
**Resposta:** c) 2 
**Explicação:** A integral é calculada como: 
\[ 
\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C 
\] 
Avalie de 0 a 1: 
\[ 
\left[\frac{1}{3} + 1 + 1\right] = 2 
\] 
 
**53.** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
a) 3 
b) 0 
c) 1 
d) 6 
**Resposta:** a) 3 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Portanto, neste caso, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 
\]