desafios hoqzhn

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c) \( 0 \) 
 d) \( 12 \) 
 **Resposta: a) \( 6x - 12 \)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 3x^2 - 12x + 9 \). A segunda derivada é \( 6x - 12 
\). 
 
9. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + 4} \). 
 a) \( \frac{3}{5} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3}{5} \)** 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x \) que é 
\( x^3 \): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{4}{x^3}} = \frac{3}{5} 
 \] 
 
10. Determine o valor de \( \int x e^{2x} \, dx \) usando integração por partes. 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} (x - \frac{1}{2}) + C \) 
 b) \( e^{2x} (x - \frac{1}{2}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} e^{2x} (2x - 1) + C \) 
 d) \( e^{2x} (x + 1) + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2} e^{2x} (x - \frac{1}{2}) + C \)** 
 **Explicação:** Usamos \( u = x \) e \( dv = e^{2x} dx \). Então, \( du = dx \) e \( v = 
\frac{1}{2} e^{2x} \). Aplicando a fórmula de integração por partes. 
 
11. Calcule o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** A integral é calculada como: 
 \[ 
 \int (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1, temos: 
 \[ 
 [1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}] - [0] = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} + 
\frac{3}{6} = \frac{1}{2} 
 \] 
 
12. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{5}{3} \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{4}{3} \) 
 **Resposta: d) \( \frac{4}{3} \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{3} + 1 + 1\right] - [0] = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} 
 \] 
 
13. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 6 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 3 \), então o limite é \( 3 \). 
 
14. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} 
 \] 
 
15. Calcule a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 b) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 d) \( \frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \)** 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida usando a substituição e integração por 
partes. A integral resulta em uma função que envolve \( \sin \) e \( e^{3x} \). 
 
16. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 5} \). 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta: a) 2** 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \): 
 \[