Lista de Exercicios Fisica Básica (31)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 61
(c) De acordo com o teorema de Pitágoras, o módulo do deslocamento total é dado por 
m m 143m.( ) ( )− + ≈140 302 2
(d) O ângulo é dado por tan ( / ( ))− − = − °1 30 140 12 (que, como sabemos que o ponto final está 
no segundo quadrante, pode ser descrito como 12° no sentido horário a partir do semieixo x ne-
gativo ou 168° no sentido anti-horário a partir do semieixo x positivo).
15. Convém notar que uma forma eficiente de resolver este problema de soma de vetores se-
ria usar a lei dos cossenos (que neste caso, em que 

a, 

b e 

r formam um triângulo isósceles, 
seria fácil de aplicar). Entretanto, usando uma abordagem mais sistemática, observamos que o 
ângulo que o vetor 

b faz com o semieixo x positivo é 30° + 105° = 135° e aplicamos as Eqs. 
3-5 e 3-6.
(a) A componente x de 

r é rx = (10,0 m) cos 30° + (10,0 m) cos 135° = 1,59 m.
(b) A componente y de 

r é ry = (10,0 m) sen 30° + (10,0 m) sen 135° = 12,1 m.
(c) O módulo de 

r é r r= = + =| | ( , ) ( , ) ,

1 59 12 1 12 22 2m m m.
(d) O ângulo entre 

r e o semieixo x positivo é tan–1[(12,1 m)/(1,59 m)] = 82,5°.
16. (a) 
 
a b+ = + + − =( , ˆ , ˆ) ( , ˆ , ˆ) ( ,3 0 4 0 5 0 2 0 8 0i j m i j m mm i m j) ˆ ( , ) ˆ.+ 2 0
(b) O módulo de 
 
a b+ é
| | ( , ) ( , ) ,
 
a b+ = + =8 0 2 0 8 22 2m m m.
(c) O ângulo entre este vetor e o semieixo x positivo é 
tan–1[(2,0 m)/(8,0 m)] = 14°.
(d) 
 
b a− = − − + =( , ˆ , ˆ) ( , ˆ , ˆ) ( ,5 0 2 0 3 0 4 0 2 0i j m i j m mm i m j) ˆ ( , )ˆ .− 6 0
(e) O módulo da diferença 
 
b a− é
| | ( , ) ( , ) ,
 
b a− = + − =2 0 6 0 6 32 2m m m.
(f) O ângulo entre este vetor e o semieixo x positivo é tan–1[( –6,0 m)/(2,0 m)] = –72°. O vetor 
faz um ângulo de 72° no sentido horário com o eixo definido por î .
17. Muitas operações com vetores podem ser executadas nas calculadoras gráficas modernas, 
que dispõem de rotinas de manipulação e vetores e de transformação da forma retangular para 
a forma polar, e vice-versa. Nesta solução, vamos usar métodos “tradicionais”, como a Eq. 3-6. 
Quando a unidade de comprimento é omitida, fica implícito que se trata do metro.
(a) Na notação de vetores unitários,

a
b
= +
=
( ) cos( )ˆ ( ˆ
(
50 30
5
m i 50m) sen(30 ) j 
00 50
50
m (195 ) i m sen(195 ) j) cos ˆ ( ) ˆ
(
 +
=c m (315 ) i m sen(315 ) j) cos ˆ ( ) ˆ +
+ +
50
  
a b cc = −( , ) ˆ ( ˆ30 4 m i 23,3m) j.
O módulo do vetor soma é ( , ) ( , )30 4 23 3 382 2m m m+ − = .
62 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
(b) O cálculo do ângulo entre o vetor encontrado no item (a) e o semieixo x positivo oferece 
duas possibilidades: tan–1[(–23,2 m)/(30,4 m)] = –37,5° e 180° + (–37,5°) = 142,5°. A primeira 
possibilidade é a resposta correta, já que, pelos sinais das componentes, sabemos que o vetor 
está no quarto quadrante. Assim, o ângulo é –37,5°, que pode ser descrito como um ângulo de 
37,5° no sentido horário com o semieixo x positivo ou como 322,5° no sentido anti-horário 
com o semieixo x positivo.
(c) Temos: 
  
a b c− + = − − + − − −[ , ( , ) , ] ˆ [43 3 48 3 35 4 i 25 ( 12,9)++ − = +( 35,4)] j 127i j) mˆ ( ˆ , ˆ2 60
na notação de vetores unitários. O módulo do vetor é
| | ( ) ( , ) ,
  
a b c− + = + ≈ ×127 2 6 1 30 102 2 2m m m.
(d) O ângulo entre o vetor do item (c) e o semieixo x positivo é tan (2,6m/127m) 1,2− ≈ °1 .
(e) Usando a notação dos vetores unitários, 

d é dado por 
   
d a b c= + − = − +( , ˆ , ˆ40 4 47 4i j) m, 
cujo módulo é ( , ) ( , )− + =40 4 47 4 622 2m m m.
(f) O cálculo do ângulo entre o vetor encontrado no item (e) e o semieixo x positivo oferece 
duas possibilidades: tan ( , / ( , )) ,− − = − °1 47 4 40 4 50 0 e 180 50 0 130  + − =( , ) . A segunda pos-
sibilidade é a resposta correta, já que, pelos sinais das componentes, sabemos que 

d está no 
segundo quadrante.
18. Para poder usar diretamente a Eq. 3-5, notamos que o ângulo entre o vetor 

C e o semieixo 
x positivo é 180° + 20,0° = 200°.
(a) As componentes x e y de 

B são 
 Bx = Cx – Ax = (15,0 m) cos 200° – (12,0 m) cos 40° = –23,3 m,
 By = Cy – Ay = (15,0 m) sen 200° – (12,0 m) sen 40° = –12,8 m.
Assim, o módulo de 

B é | |

B = ( , ) ( , ) ,− + − =23 3 12 8 26 62 2m m m.
(b) O cálculo do ângulo entre 

B e o semieixo x positivo oferece duas possibilidades: tan−1[(–12,8 m)/ 
(–23,3 m)] = 28,9° e 180° + 28,9° = 209°. A segunda possibilidade é a resposta certa, já que, 
pelos sinais das componentes, sabemos que 

B está no terceiro quadrante. Note que o ângulo 
também pode ser expresso como − °151 .
19. (a) Com ̂i apontando para a frente e ĵ para a esquerda, o deslocamento total é (5,00 î + 
2,00 ̂j ) m . O módulo é dado pelo teorema de Pitágoras: ( , ) ( , )5 00 2 002 2m m+ = 5,385 m ≈ 
5,39 m.
(b) O ângulo é tan−1(2,00/5,00) ≈ 21,8º (para a frente e à esquerda). 
20. O resultado desejado é o vetor deslocamento 

A = (5,6 km), 90º (medidos no sentido anti-
horário a partir do semieixo x positivo), que também pode ser expresso como 

A = ( , ˆ5 6 km)j , 
em que ̂j é o vetor unitário na direção do semieixo y positivo (norte). Este vetor é a soma de 
dois deslocamentos: o deslocamento errôneo 

B = °( , )7 8 km , 50 ou

B = + =( , )(cos ˆ ˆ ( ˆ7 8 50km i sen50 j) 5,01 km)  ii km j+ ( , )ˆ5 98
e um vetor 

C de correção a ser determinado. Assim, 
  
A B C= + .