Lista de Exercicios Fisica Básica (36)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 71
46. Os vetores são mostrados na figura. O eixo x está na direção oeste-leste e o eixo y na dire-
ção sul-norte. Assim, ax = 5,0 m, ay = 0, bx = –(4,0 m) sen 35° = –2,29 m, by = (4,0 m) cos 35° = 
3,28 m.
(a) Seja 
  
c a b= + .
c a bx x x= + −= 5,00 m 2,29m = 2,71 m e c a by y y= + = 0 + 3,28m = 3,28m. O módulo de c 
é
c c cx y= + = + =2 2 2 22 71 3 28 4 2( , ) ( , ) , .m m m
(b) O ângulo θ entre 
  
c a b= + e o semieixo x positivo é
u =




=




= °− −tan tan
,
,1 1
3 28
50 5
c
c
y
x 2,71
≈≈ °50 .
A segunda possibilidade (θ = 50,4° + 180° = 230,4°) é rejeitada porque o vetor apontaria no 
sentido oposto ao de 

c.
(c) O vetor 
 
b a− pode ser obtido somando − 

a ba . O resultado é mostrado no diagrama a se-
guir. Seja 
 
c b a= 2 . As componentes são 
c b ax x x= − = − − = −2 29 5 00, ,m m 7,29 m
c b ay y y= − = 3 28, m.
O módulo de 

c é c c cx y= + =2 2 8 0, m.
(d) A tangente do ângulo θ que 

c faz com o semieixo x positivo (direção leste) é
tan
,
,
, .u = =
−
= −
c
c
y
x
3 28
7 29
4 50
m
m
Existem duas soluções: –24,2° e 155,8°. Como mostra o diagrama, a segunda solução é a cor-
reta. A orientação do vetor 
  
c a b= − + é 24° ao norte do oeste.
72 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
47. Notando que o ângulo dado de 130° deve ser medido no sentido anti-horário a partir do se-
mieixo x positivo, escrevemos os dois vetores na forma 

A = + = − +8 00 130 130 5 14 6 13, (cos ˆ s n ˆ) , ˆ , ˆ° i ° j i je
B B Bx y= + = − −ˆ ˆ , ˆ , ˆi j i j .7 72 9 20
(a) O ângulo entre o semieixo y negativo (− ĵ ) e o vetor 

A é
u = ⋅ −



= −
− +
− −cos
( ˆ
cos
,
( , ) (
1 1
2
6 13
5 14

A
A
j)
66 13
6 13
8 00
140
2
1
, )
cos
,
,
.




= −



=− °
Também podemos dizer que a direção −y corresponde a um ângulo de 270° e a resposta é sim-
plesmente 270° −฀130° = 140°.
(b) Como o eixo y está no plano xy e o produto vetorial 
 
A B× é perpendicular ao plano xy, a 
resposta é 90,0°.
(c) O vetor pode ser simplificado da seguinte forma:
 
A B× + = − + × − −( , ˆ , ˆ , ˆ ( , ˆ ,3 00 514 6 13 7 72 9k i j i) ( ) 220 3 00ˆ , ˆ
ˆ ˆ ˆ
j k)
18,39 i 15,42 j 94,61k
+
= + +
O módulo é | ( , ˆ 
A B× + =3 00k) | 97,6.O ângulo entre o semieixo y negativo (− ĵ ) e a orienta-
ção do vetor é
u = −



= °−cos
,
,
, .1 15 42
97 6
99 1
48. Nos casos em que a unidade de comprimento não é indicada, está implícito que se trata do 
metro.
(a) Os módulos dos vetores são a a= = + =| | ( , ) , ) ,

3 2 1 6 3 582 2( e b b= = + =| | ( , ) , ) ,

0 50 4 5 42 2( 5฀
= = + =) ,

5 4 53. Nesse caso,
 
a b a b a b abx x y y⋅ = + = cos
(3,2)(0,50) + (1,6)(4,5) = (3,58)(4,53) cos φ
o que nos dá φ = 57° (o arco cosseno, com o arco tangente, tem dois valores possíveis, mas sa-
bemos que este é o valor correto porque os dois vetores estão no mesmo quadrante).
(b) Como o ângulo de 

a (medido a partir do semieixo x positivo) é tan–1(1,6/3,2) = 26,6°, sa-
bemos que o ângulo de 

c é 26,6° –90° = –63,4° (a outra possibilidade, 26,6° + 90°, levaria a 
cx