9gp aprenda na dificuldade 9gp

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b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \(u = 1 + x^2\). 
 
76. **Problema 76:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k=5\). 
 
77. **Problema 77:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^3\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{1/2} \, du\). 
 
78. **Problema 78:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
79. **Problema 79:** Calcule a integral \(\int_0^1 x^2 e^{x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{1}{4}(e^4 - 1)\) 
 c) \(\frac{1}{2}(e^2 - e)\) 
 d) \(\frac{1}{4}(e - 1)\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), temos \(\frac{1}{3}\int e^u \, du = 
\frac{1}{3}(e - 1)\). 
 
80. **Problema 80:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k=3\). 
 
81. **Problema 81:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{3/2} \, du\). 
 
82. **Problema 82:** Determine a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\). 
 a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 b) \(x^2 \sec^2(x)\) 
 c) \(2 \tan(x^2)\) 
 d) \(\sec^2(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x\). 
 
83. **Problema 83:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \(u = 1 + x^2\). 
 
84. **Problema 84:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k=5\). 
 
85. **Problema 85:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^3\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{1/2} \, du\). 
 
86. **Problema 86:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)