Problema 82: Determine a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\). a) 2x \sec^2(x^2) b) x^2 \sec^2(x) c) 2 \tan(x^2) d) \sec^2(x^2)

Para determinar a derivada da função \(f(x) = \tan(x^2)\), vamos aplicar a regra da cadeia. 1. A derivada de \(\tan(u)\) em relação a \(u\) é \(\sec^2(u)\). 2. Aqui, \(u = x^2\), então precisamos também derivar \(u\) em relação a \(x\), que é \(2x\). Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[\tan(x^2)] = \sec^2(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \sec^2(x^2) \cdot 2x \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2x \sec^2(x^2) \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \(2x \sec^2(x^2)\)