zx49 prova do dia

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d) Não existe 
 **Resposta**: a) 3 
 **Explicação**: Utilizando a regra de limites, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 
14. **Problema 14**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^4 \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{12} \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{6} \) 
 d) \( \frac{1}{10} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação**: Expandindo \( (1 - x^2)^4 \) usando o binômio de Newton, obtemos a 
soma das potências. A integral se torna \( \int_0^1 (1 - 4x^2 + 6x^4 - 4x^6 + x^8) \, dx = 1 - 
\frac{4}{3} + \frac{6}{5} - \frac{2}{7} + \frac{1}{9} = \frac{5}{12} \). 
 
15. **Problema 15**: Determine o valor de \( \int_0^1 \ln(x) \, dx \). 
 a) -1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) -1/2 
 **Resposta**: a) -1 
 **Explicação**: A integral pode ser calculada usando integração por partes, onde \( u = 
\ln(x) \) e \( dv = dx \). Assim, \( du = \frac{1}{x}dx \) e \( v = x \). Portanto, \( \int \ln(x) \, dx = 
x\ln(x) - x \Big|_0^1 = (0 - 1) - \lim_{x \to 0} (x\ln(x)) = -1 \). 
 
16. **Problema 16**: Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( e^{x^2} + \ln(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x^2} - C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = 
\frac{du}{2x} \). A integral se torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
17. **Problema 17**: Determine o valor de \( \int_0^1 x^2 e^{x^3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{6} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{3} \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 \, dx \), ou seja, \( 
dx = \frac{du}{3x^2} \). Assim, a integral se torna \( \frac{1}{3} \int e^u \, du \), que é \( 
\frac{1}{3} e^{u} \Big|_0^1 = \frac{1}{3}(e - 1) \). 
 
18. **Problema 18**: Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{11}{4} \) 
 b) \( 3 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{13}{4} \) 
 **Resposta**: b) \( 3 \) 
 **Explicação**: A integral se torna \( \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 
4x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 4 \right) = 3 \). 
 
19. **Problema 19**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 1 
 **Explicação**: Usando a definição de derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), temos \( \lim_{x 
\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1 \). 
 
20. **Problema 20**: Calcule a integral \( \int_0^1 \sqrt{x} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação**: A integral se torna \( \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}(1) - 
0 = \frac{2}{3} \). 
 
21. **Problema 21**: Calcule a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \). 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \ln(x) - x \) 
 c) \( 2x \ln(x) + 2x \) 
 d) \( 2x \ln(x) + x^2 \) 
 **Resposta**: a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação**: Aplicando a regra do produto: \( f'(x) = u'v + uv' \), onde \( u = x^2 \) e \( v 
= \ln(x) \). Assim, \( u' = 2x \) e \( v' = \frac{1}{x} \). Portanto, \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \). 
 
22. **Problema 22**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x)^5 \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{6} \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{7} \) 
 d) \( \frac{1}{8} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação**: Usando a identidade do binômio, temos \( \int_0^1 (1 - x)^5 \, dx = \left[ 
-\frac{(1-x)^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \). 
 
23. **Problema 23**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 1}{2x^2 + 4} \). 
 a) \( \frac{5}{2} \) 
 b) \( \frac{3}{2} \) 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta**: a) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador pelo termo de maior grau \( 
x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{4}{x^2}} = 
\frac{5}{2} \).