jyzd criando do zero

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d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo numerador e denominador pelo maior grau de \( x \), obtemos 
\( \frac{5 + \frac{3}{x^2}}{2 - \frac{4}{x^2}} \to \frac{5}{2} \). 
 
44. **Problema 44:** Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx \). 
 a) \( \ln(2) \) 
 b) \( \ln(1) \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** d) \( \infty \) 
 **Explicação:** A integral diverge, pois \( \tan(x) \) tem uma assíntota vertical em \( x = 
\frac{\pi}{2} \). 
 
45. **Problema 45:** Determine o valor da derivada \( \frac{d}{dx} (x^2 + 3x + 5) \). 
 a) \( 2x + 3 \) 
 b) \( x + 3 \) 
 c) \( 2x + 5 \) 
 d) \( 3x + 5 \) 
 **Resposta:** a) \( 2x + 3 \) 
 **Explicação:** A derivada é calculada como \( 2x + 3 \). 
 
46. **Problema 46:** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 b) \( x^5 - x^3 + x + C \) 
 c) \( \frac{5}{5} x^5 - \frac{3}{3} x^3 + 2x + C \) 
 d) \( 5x^5 - 3x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ x^5 - x^3 + 2x \right] + C \). 
 
47. **Problema 47:** Determine a integral \( \int_0^1 (2x^3 + x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{5}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{3} x^3 \right]_0^1 = 
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \). 
 
48. **Problema 48:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \) onde \( k = 3 \). 
 
49. **Problema 49:** Determine a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \). 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2} \) 
 c) \( 2 e^{x^2} \) 
 d) \( x e^{x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( 2x e^{x^2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \). 
 
50. **Problema 50:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 
= \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 1 \right) = \frac{3 - 8 + 4}{12} = \frac{1}{12} \). 
 
51. **Problema 51:** Determine a integral \( \int (4x^3 - 2x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 b) \( 4x^4 - x^2 + C \) 
 c) \( 4x^4 - 2x + C \) 
 d) \( 4x^4 - 2x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ x^4 - x^2 \right] + C \). 
 
52. **Problema 52:** Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{10}{3} \) 
 d) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{10}{3} \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ x^3 + 4x \right]_0^1 = (1 + 4) - 0 = 5 \). 
 
53. **Problema 53:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 a) \( -\frac{1}{2} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor, temos \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} \), 
resultando em \( -\frac{1}{2} \). 
 
54. **Problema 54:** Calcule a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 + x^2 + 2x + C \) 
 c) \( x^3 + 2x^2 + x + C \) 
 d) \( 3x^3 + 2x^2 + x + C \)