juay criando do zero

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b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \sin(x) + C \) 
 d) \( -\cot(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é conhecida e resulta em \( \tan(x) + C \). 
 
33. **Problema 33:** Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^3) \). 
 a) \( 3x^2 \cos(x^3) \) 
 b) \( \cos(x^3) \) 
 c) \( 3 \sin(x^3) \) 
 d) \( \sin(x^3) \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \cos(x^3) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 \). 
 
34. **Problema 34:** Calcule a integral \( \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \frac{7}{6} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = 
\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 9}{6} = \frac{13}{6} \). 
 
35. **Problema 35:** Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( 2 \) 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada e pode ser resolvido fatorando o 
numerador como \( (x - 1)(x + 1) \). 
 
36. **Problema 36:** Calcule a integral \( \int x^2 e^x \, dx \). 
 a) \( (x^2 - 2) e^x + C \) 
 b) \( (x^2 + 2) e^x + C \) 
 c) \( (x^2 + 1) e^x + C \) 
 d) \( (x^2 - 1) e^x + C \) 
 **Resposta:** a) \( (x^2 - 2) e^x + C \) 
 **Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos a integral. 
 
37. **Problema 37:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
38. **Problema 38:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \) onde \( k = 2 \). 
 
39. **Problema 39:** Determine a integral \( \int (3x^2 - 4) \, dx \). 
 a) \( x^3 - 4x + C \) 
 b) \( x^3 + 4x + C \) 
 c) \( 3x^3 - 4x + C \) 
 d) \( x^3 - 4x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 4x + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ x^3 - 4x \right] + C \). 
 
40. **Problema 40:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{3} \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = 
\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12} \). 
 
41. **Problema 41:** Determine a derivada de \( f(x) = x^3 e^{-x} \). 
 a) \( e^{-x} (3x^2 - x^3) \) 
 b) \( e^{-x} (3x^2 + x^3) \) 
 c) \( e^{-x} (3x^2 + 1) \) 
 d) \( e^{-x} (3x^2 - 1) \) 
 **Resposta:** a) \( e^{-x} (3x^2 - x^3) \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = e^{-x} (3x^2 - x^3) \). 
 
42. **Problema 42:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x} \, dx \). 
 a) \( \ln|x| + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( x + C \) 
 d) \( \ln(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \ln|x| + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é bem conhecida e resulta em \( \ln|x| + C \). 
 
43. **Problema 43:** Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 - 4} \). 
 a) \( \frac{5}{2} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \)