desafios fwxbmv

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\left[\frac{1}{4} + \frac{4}{3}\right] - [0] = \frac{1}{4} + \frac{16}{12} = \frac{5}{4} 
 \] 
 
64. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 9 
 d) 18 
 **Resposta: c) 9** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 9 \), então o limite é \( 9 \). 
 
65. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^4 + 1) \). 
 a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^4 + 1} \) 
 c) \( \frac{4}{x^4 + 1} \) 
 d) \( \frac{3x^2}{x^4 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^4 + 1} \cdot (4x^3) = \frac{4x^3}{x^4 + 1} 
 \] 
 
66. Calcule a integral \( \int (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - x^3 + 2x + C \) 
 c) \( x^4 - x^2 + x + C \) 
 d) \( x^4 - \frac{3}{3}x^3 + x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^4 - x^3 + x^2 + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = x^4 - x^3 + x^2 + C 
 \] 
 
67. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta: c) \( 3 \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{3} + 1 + 1\right] - [0] = 3 
 \] 
 
68. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(10x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 10 
 d) 20 
 **Resposta: c) 10** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 10 \), então o limite é \( 10 \). 
 
69. Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(x^4) \). 
 a) \( -4x^3 \sin(x^4) \) 
 b) \( -\sin(x^4) \) 
 c) \( -4x^3 \cos(x^4) \) 
 d) \( 4x^3 \sin(x^4) \) 
 **Resposta: a) \( -4x^3 \sin(x^4) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = -\sin(x^4) \cdot (4x^3) = -4x^3 \sin(x^4) 
 \] 
 
70. Calcule a integral \( \int (5x^2 + 3x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1 + C \) 
 c) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 d) \( \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (5x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C 
 \] 
 
71. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^5 - 2x^4 + 3x^3) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta: b) \( 2 \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^5 - 2x^4 + 3x^3) \, dx = \frac{1}{6}x^6 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{3}{4}x^4 + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[