Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 23

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(d) 24 | (52n – 1),  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) A relação é verdadeira para n = 1, pois 52.1 – 1 = 25 – 1 = 24 que é múltiplo de 
24. 
(2) Suponhamos que 24 | (52n – 1),  n  N, e 
(3) Provemos que 24 | (52(n + 1) – 1) = (52n + 2 – 1). 
 
Demonstração: 
 
52n + 2 – 1 = 52.52n – 1 = (24 + 1)52n – 1 = 24.52n + 52n – 1 = (24.52n) + (52n – 1) 
= 24q + 24q’ pois (52n – 1) é múltiplo de 24 de acordo com a hipótese. 
Portanto: 52n + 2 – 1 = 24(q + q”) è 24 divide 52n + 2 – 1. 
 
Como a relação é válida para o sucessor (n + 1) de n, a relação é válida para todo 
n natural. 
 
(e) 7 | (23n – 1),  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) A relação é verdadeira para n = 1 pois: 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7 que é múltiplo de 
7. 
(2) Suponhamos que 7 | (23n – 1),  n  N, e 
(3) Provemos que 7 | (23(n + 1) – 1) = (23n + 3 – 1). 
 
Demonstração: 
(23n + 3 – 1) = 23.23n – 1 = 8.23n – 1 = (7 + 1)23n – 1 = (7.23n) + (23n – 1) = 7q + 
7q’ pois (23n – 1) é múltiplo de 7 conforme hipótese. 
Portanto, (23n + 3 – 1) = 7(q + q’) ou seja 7 | (23n + 3 – 1) . 
 
Como a relação é válida para o sucessor (n + 1) de n, a relação é válida para todo 
n natural 
 
(f) 8 | 32n + 7,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) a relação é verdadeira para n = 1 pois 32n + 7 = 9 + 7 = 16 que é múltiplo de 
8. 
(2) suponhamos verdadeira para n, ou seja 8 | 32n + 7, e 
(3) provemos que a relação é valida para n + 1, ou seja 8 | 32.(n + 1) + 7 = 32n + 2 + 
7. 
 
Demonstração: 
 
32n + 2 + 7 = 32.32n + 7 = 9.32n + 7 = (8 + 1)32n + 7 = (8.32n) + (32n + 7) = 8q + 
8q’ = 8(q + q”) pois 8 | (32n + 7) de acordo com a hipótese. 
 
Como a relação é válida para o sucessor (n + 1) de n, a relação é válida para todo 
n natural