cnj matematica raiz

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a) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2+1} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{1+x^2} \)** 
 **Explicação:** A derivada da função arcotangente é conhecida. 
 
33. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado, então fatoramos: \( \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = 
x^2 + x + 1 \) e, substituindo \( x = 1 \), obtemos 3. 
 
34. Encontre a integral \( \int (6x^2 - 4) \, dx \). 
 a) \( 2x^3 - 4x + C \) 
 b) \( 2x^3 - 2x + C \) 
 c) \( 3x^3 - 4x + C \) 
 d) \( 3x^3 - 2x + C \) 
 **Resposta: a) \( 2x^3 - 4x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
35. Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 b) \( \frac{3x^3}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 d) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 3x^2 \). 
 
36. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2 
\cdot 1 = 2 \). 
 
37. Encontre a integral \( \int (7x^3 - 5x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + x + C \) 
 c) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^3 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^3 + x + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
38. Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (4x^2 - 2) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{4}{3}x^3 - 2x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{4}{3} - 2 
\right) = -\frac{2}{3} \). 
 
39. Calcule a derivada de \( f(x) = e^{3x} \). 
 a) \( 3e^{3x} \) 
 b) \( e^{3x} \) 
 c) \( 3e^{x} \) 
 d) \( 3xe^{3x} \) 
 **Resposta: a) \( 3e^{3x} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{ax} \) é \( ae^{ax} \). 
 
40. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin(x)}{x^4} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \sin(x) \): \( \sin(x) \approx x - 
\frac{x^3}{6} \). 
 
41. Encontre a integral \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( -x + C \) 
 d) \( \frac{1}{2x} + C \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{x} + C \)** 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-2} \) é \( -x^{-1} + C \). 
 
42. Calcule a derivada de \( f(x) = x^5 + 3x^3 - 2x + 7 \). 
 a) \( 5x^4 + 9x^2 - 2 \) 
 b) \( 5x^4 + 6x^2 - 2 \) 
 c) \( 5x^4 + 3x^2 - 2 \) 
 d) \( 5x^4 + 6x^2 + 2 \) 
 **Resposta: a) \( 5x^4 + 9x^2 - 2 \)** 
 **Explicação:** A derivada é feita termo a termo. 
 
43. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1