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a) 3 
 b) 1 
 c) 0 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** Usamos a limitação \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, 
temos \(k = 3\), resultando em \(3\). 
 
67. **Problema:** Determine a solução da equação \(y' = 4y + 1\). 
 a) \(y = Ce^{4x} - \frac{1}{4}\) 
 b) \(y = Ce^{-4x} + \frac{1}{4}\) 
 c) \(y = \frac{1}{4}e^{4x} + C\) 
 d) \(y = Ce^{4x} + \frac{1}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{4x} - \frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é dada por \(y = 
Ce^{kx} - \frac{b}{k}\), onde \(k = 4\) e \(b = 1\). 
 
68. **Problema:** Calcule a integral \(\int (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 + 3x + C\) 
 b) \(\frac{1}{3} x^4 + \frac{2}{3} x^3 + 3x + C\) 
 c) \(\frac{1}{5} x^4 + \frac{2}{3} x^3 + 3x + C\) 
 d) \(\frac{1}{6} x^4 + \frac{2}{3} x^3 + 3x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 + 3x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(x^3\) é \(\frac{1}{4} x^4\), a integral de \(2x^2\) é 
\(\frac{2}{3} x^3\) e a integral de \(3\) é \(3x\). Portanto, somando tudo, temos \(\frac{1}{4} 
x^4 + \frac{2}{3} x^3 + 3x + C\). 
 
69. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 
\end{pmatrix}\). 
 a) -1 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) -1 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz \(2 \times 2\) é dado por \(ad - bc\). 
Assim, temos \(1*5 - 3*2 = 5 - 6 = -1\). 
 
70. **Problema:** Determine o valor de \(\int_0^1 (4x^2 - 3x + 2) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** A integral se calcula como \(\int_0^1 4x^2 \, dx - \int_0^1 3x \, dx + 
\int_0^1 2 \, dx = \frac{4}{3} - \frac{3}{2} + 2 = 1\). 
 
71. **Problema:** Calcule a integral \(\int (2x^2 + 3x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C\) 
 c) \(\frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{4} x^2 + x + C\) 
 d) \(\frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{4} x^2 + 2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(2x^2\) é \(\frac{2}{3} x^3\), a integral de \(3x\) é 
\(\frac{3}{2} x^2\) e a integral de \(1\) é \(x\). Portanto, somando tudo, temos \(\frac{2}{3} 
x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C\). 
 
72. **Problema:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) -1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Usamos a definição da derivada da função \(e^x\) em \(x = 0\). A 
derivada é \(1\), e avaliando em \(x = 0\), obtemos \(1\). 
 
73. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral se calcula como \(\int_0^1 3x^3 \, dx - \int_0^1 2x^2 \, dx + 
\int_0^1 1 \, dx = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} + 1 = 1\). 
 
74. **Problema:** Determine a solução da equação \(y' = 5y - 2\). 
 a) \(y = Ce^{5x} + \frac{2}{5}\) 
 b) \(y = Ce^{-5x} - \frac{2}{5}\) 
 c) \(y = \frac{2}{5}e^{5x} + C\) 
 d) \(y = Ce^{5x} - \frac{2}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{5x} + \frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é dada por \(y = 
Ce^{kx} + \frac{b}{k}\), onde \(k = 5\) e \(b = -2\). 
 
75. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 
\end{pmatrix}\). 
 a) 10 
 b) 8 
 c) 6 
 d) 5 
 **Resposta:** a) 10 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz \(2 \times 2\) é dado por \(ad - bc\). 
Assim, temos \(4*3 - 2*1 = 12 - 2 = 10\). 
 
76. **Problema:** Calcule a integral \(\int (x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} x^3 + x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} x^3 + x^2 + x + C\) 
 c) \(\frac{1}{4} x^3 + x^2 + x + C\) 
 d) \(\frac{1}{5} x^3 + x^2 + x + C\)