Derivada: Definição e Regras

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Derivada
Lucas G Mesquita
lucasgmesquita@gmail.com
11 de julho de 2013
1 Definic¸a˜o de derivada
Dado uma func¸a˜o f : R → R, muitas vezes queremos saber sua taxa de variac¸a˜o, isto e´, se os valores de uma
func¸a˜o crescem muito rapidamente, decrescem rapidamente, se ficam invaria´veis, etc. Sabemos que, se a e x
sa˜o dois valores no domı´nio de f, enta˜o a variac¸a˜o me´dia de f entre esses valores e´
f(x)− f(a)
x− a .
A partir disso, sabemos, em me´dia, como variou f entre a e x.
Pore´m, muitas vezes na˜o estamos interessados na variac¸a˜o me´dia da func¸a˜o em um certo intervalo do domı´nio,
mas sim da variac¸a˜o instantaˆnea de f em um determinado ponto a do domı´nio. Para encontrar essa variac¸a˜o,
podemos usar a equac¸a˜o acima e tomar o limite quando x fica cada vez mais pro´ximo de a, isto e´, tal variac¸a˜o
instantaˆnea e´
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Para deixar a equac¸a˜o acima mais ”limpa”, podemos fazer h = x − a (portanto x = a + h) e observarmos
que se x→ a, enta˜o h→ 0. Assim, a equac¸a˜o acima se torna
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Esse valor e´ chamado de derivada de f em a, e denotado por f ′(x) (leˆ-se ”f linha de a”).
Exemplo: Encontre a derivada de f(x) = x2 − 8x+ 9 em um nu´mero a.
1.1 A derivada como inclinac¸a˜o da reta tangente
Ha´ uma interpretac¸a˜o geome´trica muito importante da derivada de uma func¸a˜o. Seja uma func¸a˜o y = f(x) e
considere seu gra´fico. Se P(a,f(a)) e´ um ponto no gra´fico, vamos querer achar a inclinac¸a˜o da reta r que passa
por P e e´ tangente ao gra´fico. Para isso, seja um outro ponto Q(a+h,f(a+h)) no gra´fico, e considere a reta s
secante determinada por PQ. Podemos achar a inclinac¸a˜o da reta r tomando o limite da inclinac¸a˜o da reta s
quando h→ 0. Observe a figura 1 abaixo.
A inclinac¸a˜o da reta s e´ dada por tanα = f(a+h)−f(a)h . A` medida que a + h se aproxima de a, isto e´, a`
medida que h→ 0, a reta s tende a` reta r. Assim, temos que a inclinac¸a˜o da reta r e´ dada por
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Isto e´,
a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto a e´ dada por f
′
(a)
Exemplo: Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2 − 8x+ 9 no ponto (3,−6).
1.2 Derivada como func¸a˜o
Na sec¸a˜o anterior, vimos o que significa a derivada de uma func¸a˜o em um ponto a do seu domı´nio. A derivada
so´ vai existir se o limite lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
existir. Da mesma forma, se tal limite existe para todo valor no
domı´nio de f, podemos definir uma func¸a˜o derivada que associa a cada x um f
′
(x):
f
′
(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
1
Figura 1: Reta tangente
em que x agora e´ uma varia´vel. Se a derivada de f existe em um valor a, dizemos que f e´ deriva´vel ou diferencia´vel
em a; se a derivada de f existe em todo o domı´nio, dizemos simplesmente que f e´ diferencia´vel.
Exemplo: Se f(x) =
√
x− 1, encontre a lei de formac¸a˜o de f ′(x) e determine seu domı´nio.
Exemplo: Onde a func¸a˜o f(x) = |x| e´ diferencia´vel?
Ale´m de denotar a derivada por uma ”linha”, tambe´m usa-se outras notac¸o˜es. Ao inve´s de f
′
, pode-se
escrever a derivada de uma func¸a˜o f por
df
dx
ou ddxf(x). Esta forma e´ interessante porque especifica-se que a
varia´vel da func¸a˜o que esta´ sendo ”diferenciada”e´ a varia´vel x. Veremos, futuramente, que a`s vezes tratamos
de mais de uma varia´vel, e que por isso e´ importante especificar em relac¸a˜o a qual varia´vel estamos derivando
a func¸a˜o.
2 Regras de derivac¸a˜o e func¸o˜es elementares
Quase nunca usamos a definic¸a˜o de derivada para encontrar uma derivada, como fizemos na sec¸a˜o anterior.
Geralmente sabemos de regras pra´ticas para encontrar as derivadas das func¸o˜es mais elementares; assim, en-
contramos as derivadas de forma ra´pida e fa´cil. E´ isso que vamos fazer agora.
2.1 Func¸a˜o constante
Se f(x) = c, com c sendo uma constante, temos que
f
′
(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= 0.
O que ja´ era esperado, pois podemos interpretar a derivada como taxa de variac¸a˜o, e a func¸a˜o constante na˜o
varia! Temos enta˜o o seguinte resultado:
Se f e´ uma func¸a˜o constante, enta˜o f
′
= 0
2.2 Func¸a˜o poteˆncia
Queremos agora derivar a func¸a˜o f(x) = xn. Para isso, observe que se n e´ um inteiro positivo enta˜o xn − an =
(x− a)(xn−1 + xn−2a+ ...+ xan−2 + an−1) (basta multiplicar o membro direito da equac¸a˜o). Em ma˜os disso,
temos que
f
′
(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
= lim
x→a
xn − an
x− a
= lim
x→a(x
n−1 + xn−2a+ ...+ xan−2 + an−1)
=an−1 + an−2a+ ...+ aan−2 + an−1
=nan−1.
2
Podemos mostrar que tal resultado tambe´m e´ va´lido para qualquer n ∈ R. Ou seja, para qualquer n real temos
que
Se f(x) = xn, enta˜o f
′
(x) = nxn−1
Exemplo: Se f(x) = x1000, quanto e´ dfdx?
Exemplo: Se f(x) = 1x2 , quando e´ f
′
(x)?
Exemplo: Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curca y = x
√
x no ponto (1, 1).
2.3 Derivada de c · f
Se c ∈ R e f for uma func¸a˜o diferencia´vel, enta˜o
(cf)
′
(x) = lim
h→0
(cf)(x+ h)− (cf)(x)
h
= lim
h→0
cf(x+ h)− cf(x)
h
=c lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
=cf
′
(x)
Ou seja, se c ∈ R e f for uma func¸a˜o diferencia´vel, enta˜o
(cf)
′
(x) = cf
′
(x)
2.4 Func¸a˜o exponencial
Seja a func¸a˜o exponencial f(x) = ax, com um a ∈ R qualquer. Vamos tentar encontrar a derivada de f em um
valor x arbitra´rio atrave´s de definic¸a˜o de derivada:
f
′
(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
ah − 1
h
=ax lim
h→0
a0+h − a0
h
=axf
′
(0).
Ou seja, a derivada da func¸a˜o exponencial em um nu´mero real x e´ determinada pelo valor da derivada dessa
func¸a˜o no valor zero (como consequeˆncia, uma func¸a˜o exponencial so´ tem derivada em algum ponto se tem
derivada no zero).
Existe um nu´mero especial, chamado nu´mero de Euler e denotado pela letra e. Tal nu´mero e´ irracional,
tem valor aproximado de 2,7 e pode ser definido atrave´s de um limite: e = lim
h→0+
(1 + h)
1
h . A importaˆncia desse
nu´mero e´ que
lim
h→0
eh − e0
h
= 1.
Segue que, se f(x) = ex e´ a func¸a˜o exponencial de base e, enta˜o
f
′
(x) = ex
Exemplo: Em que ponto a tangente do gra´fico de f(x) = ex e´ paralela a` reta y = 2x?
2.5 Derivada da soma e diferenc¸a
Considere duas func¸o˜es f e g com derivadas em um mesmo ponto a ∈ R. Observe que
lim
x→a
(f + g)(x+ a)− (f + g)(a)
h
= lim
x→a
[f(x+ a) + g(x+ a)]− [f(a) + g(a)]
h
= lim
x→a
f(x+ a)− f(a)
h
+ lim
x→a
g(x+ a)− g(a)
h
.
3
Como os dois limites da equac¸a˜o a` direita existem (pois eles sa˜o as derivada de f e g no ponto a), enta˜o o
limite da equac¸a˜o a` esquerda tambe´m existe. Mas o limite da equac¸a˜o a` esquerda e´ a derivada de f + g no
ponto a, ou seja, acabamos de provar que se o limite de f e g existem em a, enta˜o
(f + g)
′
(a) = f
′
(a) + g
′
(a)
O mesmo vale para a diferenc¸a: (f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a).
Exemplo: A partir disso, sabemos diferenciar toda func¸a˜o polinomial:
d
dx
(anx
n + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0) = annxn−1 + an−1(n− 1)xn−2 + ...+ a1
2.6 Derivada do produto
A partir da derviada da soma e da diferenc¸a, voceˆ poderia imaginar que o mesmo funciona tambe´m para o
produto: a derivada do produto de duas func¸o˜es seria o produto das derivadas: (fg)
′
(x) = f
′
(x)g
′
(x). Mas isso
esta´ errado! Veremos o porqueˆ.
Suponha que u = f(x) e v = g(x). Se houver uma variac¸a˜o em x por um acre´scimo de h, temos as respectivas
variac¸o˜es em u e v: ∆u = f(x+ h)− f(x) e ∆v = g(x+ h)− g(x). Assim,a variac¸a˜o do produto e´ dada por
∆(uv) = u∆v+v∆u+∆v∆u = f(x)[g(x+h)−g(x)]+g(x)[f(x+h)−f(x)]+ [f(x+h)−f(x)][g(x+h)−g(x)].
Se dividirmos pela variac¸a˜o h temos
∆(uv)
h
= f(x)
g(x+ h)− g(x)
h
+ g(x)
f(x+ h)− f(x)
h
+ [f(x+ h)− f(x)]g(x+ h)− g(x)
h
.
Observando que lim
h→0
[f(x+ h)− f(x)] = 0, temos que
(fg)
′
(x) = f
′
(x)g(x) + f(x)g
′
(x)
que e´ chamada a regra do produto.
Exemplo: Se f(x) = xex, encontre f
′
(x). Exemplo: Se f(x) =
√
xg(x), com g(4) = 2 e g
′
(4) = 3, encontre
f
′
(4).
2.7 Derivada do quociente
Pode-se fazer uma demonstrac¸a˜o ana´loga para sedetermina a derivada de func¸a˜o fg em um ponto x quando
ambas as derivadas de f e g existem em x e´ g(x) 6= 0. Chegamos ao seguinte resultado, chamado de regra do
quociente: (
f
g
)′
(x) =
f
′
(x)g(x)− f(x)g′(x)
g2(x)
Exemplo: Se y = x
2+x−2
x3+6 , encontre
dy
dx .
3 Func¸o˜es trigonome´tricas
As func¸o˜es trigonome´trica aparecem com frequeˆncia no dia-a-dia de um(a) cientista. Com frequeˆncia, tambe´m,
precisamos saber as suas taxas de variac¸o˜es, ou seja, as suas derivadas. Aplicando a definic¸a˜o de derivada para
as func¸o˜es seno e cosseno, e trabalhando um pouco com as equac¸o˜es e alguns limites, chegamos aos seguintes
resultados:
d
dx
sen(x) = lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
= cos(x)
e
d
dx
cos(x) = lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
= −sen(x)
Exemplo: Encontre a derviada de y = x2sen(x).
Exemplo: Um objeto na extremidade de uma mola vertical e´ esticado 4cm ale´m de sua posic¸a˜o de repouso e
solto no instante t = 0. Sua posic¸a˜o no instante t e´
s(t) = 4cos(t).
4
Encontre a velocidade no instante t e diga em que local o mo´dulo da velocidade e´ ma´ximo.
A partir dessas duas derivadas, podemos encontrar as demais derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas. Por
exemplo, usando a regra do quociente encontramos a derivada da func¸a˜o tangente:
d
dx
tg(x) =
d
dx
(
sen(x)
cos(x)
)
=
sen
′
(x)cos(x)− sen(x)cos′(x)
cos2(x)
=
cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
=sec2(x).
Resumindo, temos a seguinte tabela
sen
′
(x) = cos(x) cos
′
(x) = −sen(x) tg′(x) = sec2(x)
cossec
′
(x) = −cossec(x)cotg(x) sec′(x) = sec(x)tg(x) cotg′(x) = −cossec2(x)
4 Regra da cadeia
Suponha que voceˆ queira encontrar a derivada da func¸a˜o
F (x) =
√
x2 + 3
em um determinado ponto. Nenhuma das regras de derivac¸a˜o que aprendemos ajuda a encontrar tal derivada.
Observe, pore´m, que se fizermos u = x2 + 3, sabemos encontrar a derivada da func¸a˜o g(u) =
√
u, como tambe´m
da func¸a˜o f(x) = x2 + 3. Como F = g ◦ f , seria interessante se soube´ssemos uma regra que nos da´ a derivada
de F em termos das derivadas de g e f. Essa regra existe, e e´ chamada de Regra da Cadeia.
Ou seja, se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um ponto, enta˜o a func¸a˜o composta F = g ◦ f definida por
F (x) = g(f(x)) e´ diferencia´vel nesse ponto. Sua derivada e´ dada por
F
′
(x) = g
′
(f(x)) · f ′(x)
Exemplo: Calcule a deivada de F mostrada acima.
Exemplo: Diferencie y = sen(x2) e y = sen2(x).
Exemplo: Encontre a derivada de func¸a˜o g(x) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
.
Exemplo: Diferencie y = ecos(x).
5 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Aprendemos a diferenciar va´rias func¸o˜es quando uma varia´vel pode ser expressa explicitamente em func¸a˜o da
outra (por exemplo, em y = x
2
−x5+2x , y esta´ explicitamente em func¸a˜o de x), isto e´, podemos escrever y = f(x).
Ocorre que as vezes a relac¸a˜o entre x e y nem sempre e´ dada atrave´s de uma lei de formac¸a˜o, colocando uma
equac¸a˜o em func¸a˜o de outra, mas sim atrave´s de um equac¸a˜o da forma
x3 + y3 = 6xy,
assumindo que y e´ uma varia´vel em func¸a˜o de x. O que podemos fazer, nesse caso, e´ achar a derivada em relac¸a˜o
a x de ambos os lados da equac¸a˜o
d
dx
(x3 + y3) =
d
dx
x3 +
d
dx
y3
=3x2 + 3y2
d
dx
y
d
dx
(6xy) =y
d
dx
(6x) + 6x
d
dx
y
=6y + 6x
d
dx
y
5
e igualar ambos os lados
d
dx
(x3 + y3) =
d
dx
(6xy)
3x2 + 3y2
d
dx
y =6y + 6x
d
dx
y
dy
dx
=
2y − x2
y2 − 2x
Desta forma, sabemos a derivada de y em relac¸a˜o a x. Note que, na verdade, sabemos
dy
dx
em func¸a˜o de y e
x. Pore´m como y e´ uma func¸a˜o de x, sabemos
dy
dx
implicitamente em func¸a˜o somente de x.
Exemplo: Se x2 + y2 = 25 (equac¸a˜o da circunfereˆncia), encontre y
′
. Mostre uma equac¸a˜o da reta tangente ao
c´ırculo no ponto (3, 4).
Exemplo: Se sen(x+ y) = y2cos(x), encontre y
′
.
5.1 Derivada de ln(x)
Atrave´s da derivac¸a˜o impl´ıcita, podemos achar a derivada de y = ln(x). Para isto, observe que y = ln(x) ↔
ey = x. Derivando implicitamente em relac¸a˜o a x essa u´ltima equac¸a˜o, temos
d
dx
(ey) =
d
dx
x
ey
dy
dx
=1
dy
dx
=
1
ey
dy
dx
=
1
x
.
Ou seja,
d
dx
ln(x) =
1
x
Exemplo: Diferencie y = ln(x3 + 1).
6