Lista 3 Cálculo numérico

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Cálculo numérico Lista de exercícios 3 
Prof. Isabel Amorim Unidade Acadêmica de Divinópolis 
 
Lista de Exercícios 3: Zeros de funções reais 
Método da Posição Falsa, Ponto Fixo e Newton-Raphson 
 
1) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 4𝑥2 e ξ sua raiz pertencente ao intervalo (0,1). Tomando 𝑥0 = 0.5, encontre a 
raiz ξ com precisão 𝜀 = 10−4, usando: 
 
a) o Método do Ponto Fixo com 𝜑(𝑥) = 
1
2
𝑒
𝑥
2⁄ 
b) o Método de Newton-Raphson. 
 
c) compare a rapidez de convergência. 
 
2) Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 6 
 com precisão 𝜀 = 10−4. Use 𝑥0 = 1. 
 
 
3) Considere o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥5 – 
10
9
𝑥3 + 
5
21
𝑥 
 
O polinômio 𝑝(𝑥) tem seus cinco zeros reais, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 e 𝑥5, todos no intervalo (−1,1). 
 
a) Verifique que: 
𝑥1 está no intervalo (−1, −0.75), 
𝑥2 está no intervalo (−0.75, −0.25), 
𝑥3 está no intervalo (−0.5, 0.5), 
𝑥4 está no intervalo (0.3, 0.8), e 
𝑥5 está no intervalo (0.8, 1.0) 
 
b) Encontre, pelo respectivo método, usando precisão 𝜀 = 10−4. 
 
𝑥1: Método de Newton-Raphson (𝑥0 = −0.8) 
𝑥2: Método da Bissecção: ([𝑎, 𝑏] = [−0.75, −0.25]) 
𝑥3: Método da Posição Falsa ([𝑎, 𝑏] = [−0.10, 0.20]) 
𝑥4: Método do Ponto Fixo (I = [0.2, 0.6], 𝑥0 = 0.5) e 𝜑 (𝑥) = √
9
10
( 𝑥5 +
5
21
𝑥)
3
 
 
4) Com base nos métodos numéricos estudados para encontrar zeros de funções, responda: 
a) Quais métodos exigem que seja definido um intervalo onde supostamente está definido o zero da 
função? 
b) Quais métodos necessitam de uma aproximação inicial, 𝑥0, para encontrar a raiz aproximada da 
equação? 
c) Quais métodos necessitam duas aproximações iniciais? Liste as características principais desse 
método.