Cálculos de Derivadas e Integrais

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**Resposta: c) -1** 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \(\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = -1\). 
 
56. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan(2x)\)?** 
 a) \(2\sec^2(2x)\) 
 b) \(\sec^2(2x)\) 
 c) \(4\sec^2(2x)\) 
 d) \(2\sin(2x)\) 
 **Resposta: a) \(2\sec^2(2x)\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \(f'(x) = 2\sec^2(2x)\). 
 
57. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \(\int (x^3 - 3x + 2) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}\). 
 
58. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta: c) 5** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\). Portanto: 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5\). 
 
59. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^2 \sin(x)\)?** 
 a) \(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\) 
 b) \(2x \cos(x) + x^2 \sin(x)\) 
 c) \(x^2 \sin(x)\) 
 d) \(2x \sin(x)\) 
 **Resposta: a) \(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto: 
 \(f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\). 
 
60. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (1 - x^2) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta: d) \(\frac{2}{3}\)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \(\int (1 - x^2) \, dx = [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (0) = \frac{2}{3}\). 
 
61. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto: 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2\). 
 
62. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 d) \(\frac{3x^3}{x^3 + 1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + 1}\). 
 
63. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: d) 0** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \(\int (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + 4x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 4\right) - (0) = 0\). 
 
64. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \(e^{2x}\) em \(x = 0\): 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2\). 
 
65. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^2 \cos(x)\)?** 
 a) \(2x \cos(x) - x^2 \sin(x)\) 
 b) \(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\) 
 c) \(x^2 \sin(x)\)