4_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Adição:
(m, 0) + (n, 0) + (m + n, 0 + 0) = (m + n, 0)
Multiplicação:
(m, 0).(n, 0) = (m.n – 0.0, m.0 + 0.n) = (m.n, 0)
Nas operações descritas acima, todas as coordenadas y nos pares ordenados 
são iguais a zero. Portanto, os números (m, 0) e (n, 0) podem ser representados 
no eixo das abscissas, que é a reta real, ou seja, os números (m, 0) e (n, 0) 
podem ser escritos simplesmente como m e n, respectivamente.
No entanto, se um par ordenado possui coordenada y ≠ 0, não pode ser 
representado no eixo das abscissas. Portanto, na forma algébrica a + bi, onde 
o coeficiente a representa a parte real, b a parte imaginária e i a unidade 
imaginária, com b ≠ 0, esse número será um complexo.
Operações com números complexos
Potências da unidade imaginária
A defi nição do comportamento das potências de i comtempla as potências 
dos complexos z = a + bi, uma vez que temos uma potência de um binômio, 
no que se segue. Observe:
, já que todo número elevado a zero é igual a 1;
, já que todo número elevado a 1 é igual a si mesmo;
, já que por definição, ;
;
;
;
;
;
.
[...]
Sendo , de um modo geral, temos:
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Ou seja, as potências , sendo , são obtidas por meio dos restos da 
divisão por 4, sendo possível apenas os resultados 1, i, -1, -i. Veja o exemplo 
abaixo.
Qual é o resultado de ?
Solução:
Adição e subtração
Sejam os números complexos e . A adição e sub-
tração são feitas entre as partes reais e as partes imaginárias separadamente. 
Dessa forma, temos:
Multiplicação
Sejam os números complexos e . O produto entre 
números complexos atende a defi nição de produto entre pares ordenados. 
Dessa forma, temos:
Outra maneira de realizar o produto é utilizando a propriedade distributiva 
e as propriedades de potência da unidade imaginária. Assim, temos:
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Acompanhe o exemplo abaixo.
(4 – i).(3 + i) = (4.3 – (– 1).1) + (4.1 + (–1).3)i = (12 + 1) + (4 – 3)i = 13 + i
Divisão
Para defi nir a divisão dos complexos, antes precisamos defi nir o conjugado de 
um número complexo. Seja um número complexo. Dizemos que 
a − bi é o conjugado de . Representamos com . Os conjugados possuem 
as propriedades a seguir.
O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados:
O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados:
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real 
não negativo.
, 
que é um número real positivo.
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é denominado 
norma de um número complexo. Portanto, dizemos que um número complexo 
z = a + bi foi normalizado, se ele foi escrito na forma:
.
Sejam dois números complexos e , sendo . Obter o quociente 
da divisão de por significa encontrar um número complexo , tal que 
. Dessa forma, escrevendo na sua forma algébrica, temos:
Veja o exemplo abaixo.
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