ANA feito a mao ANA

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Explicação: Utilizando a fórmula quadrática, \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 
temos \( z = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4*1*2}}{2*1} \) que dá \( -1 \pm i \). 
 
9. Determine \( (1+i)^5 \). 
 a) \( 4 + 4i \) 
 b) \( -4 \) 
 c) \( -4 + 4i \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: a) \( 4 + 4i \) 
 Explicação: Usando a forma polar de \( 1+i = \sqrt{2} \text{cis} \frac{\pi}{4} \). Assim, \( 
(1+i)^5 = (\sqrt{2})^5 \text{cis} \frac{5\pi}{4} = 4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin 
\frac{5\pi}{4}) = 4 + 4i \). 
 
10. Se \( z = re^{i\theta} \), o que é \( \overline{z} \)? 
 a) \( r^2 e^{-i\theta} \) 
 b) \( re^{-i\theta} \) 
 c) \( re^{i\theta} \) 
 d) \( \theta e^{r} \) 
 Resposta: b) \( re^{-i\theta} \) 
 Explicação: O conjugado de um número complexo na forma polar é obtido 
simplesmente invertendo o sinal do argumento, resultando em \( \overline{z} = r e^{-
i\theta} \). 
 
11. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( z^3 \)? 
 a) \( -64 + 64i \) 
 b) \( 1 + 1i \) 
 c) \( -64 - 64i \) 
 d) \( -64 + 64i \) 
 Resposta: a) \( -64 + 64i \) 
 Explicação: Usamos a fórmula de Newton para encontrar \( z^3 = (3 + 4i)^3 = 27 + 3 \cdot 
9 \cdot 4i + 3 \cdot 12i^2 + 64i^3 \) que resulta em \( -64 + 64i \). 
 
12. Determine o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 - i \). 
 a) 8 
 b) 16 
 c) 4 
 d) -8 
 Resposta: d) -8 
 Explicação: \( z^4 = (1-i)^4 = (1^2 + (-1)^2)^2 = 2^2 = 4 \) enquanto o argumento 
multiplicado leva ao resultado negativo. 
 
13. Qual é a forma cartesiana de \( z = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) \)? 
 a) \( 1 + 1i \) 
 b) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 c) \( 2 - \sqrt{3}i \) 
 d) \( 2 + 2i \) 
 Resposta: b) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 Explicação: Convertendo a forma polar, \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 
2\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = 1 + \sqrt{3}i \). 
 
14. Se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é \( z_1 + z_2 \)? 
 a) \( 3 + 2i \) 
 b) \( 1 + 4i \) 
 c) \( 3 + 1i \) 
 d) \( 2 + 2i \) 
 Resposta: a) \( 3 + 2i \) 
 Explicação: Somando as partes reais e imaginárias: \( (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i \). 
 
15. Determine \( z^2 - i \) quando \( z = 1 + i \). 
 a) 1 
 b) -1 
 c) 0 
 d) 2 
 Resposta: a) 1 
 Explicação: \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \), então \( z^2 - i = 2i - i = i \). 
 
16. Qual é a raiz quadrada de \( -1 + 0i \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 + i \) 
 c) \( 1 + i \) 
 d) \( 0 - i \) 
 Resposta: b) \( 0 + i \) 
 Explicação: A raiz quadrada de \( -1 \) é \( i \) e, portanto, temos \( \sqrt{-1} = i \). 
 
17. Se \( z_1 = -3 + 3i \) e \( z_2 = 1 + i \), qual é \( z_1 - z_2 \)? 
 a) \( -4 + 4i \) 
 b) \( -2 + 2i \) 
 c) \( -2 + 4i \) 
 d) \( 4 + 2i \) 
 Resposta: c) \( -4 + 4i \) 
 Explicação: Subtraindo as partes reais e imaginárias: \( (-3 - 1) + (3 - 1)i = -4 + 2i \). 
 
18. Qual é o valor de \( z = 2 \text{cis}(\theta) \) se \( \theta = \frac{2\pi}{3} \)? 
 a) \( -1 + i\sqrt{3} \) 
 b) \( 2 + 2i \) 
 c) \( -2 + 2i \) 
 d) \( 2 + i\sqrt{3} \) 
 Resposta: a) \( -1 + i\sqrt{3} \) 
 Explicação: \( z = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = -2\left(\frac{1}{2}\right) + 
2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = -1 + i\sqrt{3} \). 
 
19. Se \( z^3 = 1 \), quais são as raízes? 
 a) \( 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 b) \( 0, 1, -1 \) 
 c) \( 1, -\sqrt{3}, -2 \) 
 d) \( 1, 0, i \)