letras e nuemros QA

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78. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( |z|^2 \)? 
a) 8 
b) 4 
c) 2 
d) 10 
**Resposta:** a) 8 
**Explicação:** O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( |z| = 
\sqrt{a^2 + b^2} \). Portanto, 
\[ |z|^2 = a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \]. 
 
79. Se \( z = 1 + i \), qual é o produto \( z \cdot \overline{z} \)? 
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) 3 
**Resposta:** b) 2 
**Explicação:** O produto de um número complexo e seu conjugado é dado por: 
\[ z \cdot \overline{z} = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]. 
 
80. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 3z + 2 = 0 \)? 
a) -3 
b) -2 
c) 2 
d) 3 
**Resposta:** a) -3 
**Explicação:** A soma das raízes de um polinômio \( az^n + bz^{n-1} + ... + k = 0 \) é dada 
por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( a = 1 \) e \( b = 3 \), então a soma das raízes é \( -\frac{3}{1} = -3 
\). 
 
81. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz a equação \( z^3 = -8 \)? 
a) \( z = -2 \) 
b) \( z = 2 \) 
c) \( z = 1 + i \) 
d) \( z = -1 + i \) 
**Resposta:** a) \( z = -2 \) 
**Explicação:** A equação \( z^3 = -8 \) pode ser reescrita como \( z^3 = (-2)^3 \). Assim, a 
solução principal é \( z = -2 \). 
No entanto, também podemos considerar as raízes complexas, que são dadas por \( z = 2 
\text{cis} \left( \frac{2k\pi}{3} \right) \) para \( k = 0, 1, 2 \). 
 
82. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz a equação \( z^2 - 1 = 0 \)? 
a) \( z = 1, -1 \) 
b) \( z = 0 \) 
c) \( z = 2 \) 
d) \( z = -2 \) 
**Resposta:** a) \( z = 1, -1 \) 
**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z - 1)(z + 1) = 0 \), resultando nas 
soluções \( z = 1 \) e \( z = -1 \). 
 
83. Se \( z = 1 + i \), qual é o resultado de \( z^4 \)? 
a) \( -4 \) 
b) \( 4 \) 
c) \( 0 \) 
d) \( 1 \) 
**Resposta:** a) \( -4 \) 
**Explicação:** Primeiro, calculamos \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
Agora, \( z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = -4 \). 
 
84. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( \overline{z} \)? 
a) \( 2 - 2i \) 
b) \( -2 + 2i \) 
c) \( -2 - 2i \) 
d) \( 2 + 2i \) 
**Resposta:** a) \( 2 - 2i \) 
**Explicação:** O conjugado de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( 
\overline{z} = a - bi \). Portanto, \( \overline{z} = 2 - 2i \). 
 
85. Qual é o resultado de \( z^2 + z + 1 = 0 \)? 
a) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
b) \( z = -1 \) 
c) \( z = 1 \) 
d) \( z = 0 \) 
**Resposta:** a) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
**Explicação:** Usando a fórmula de Bhaskara: 
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm 
i\sqrt{3}}{2} \]. 
 
86. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( |z|^2 \)? 
a) 25 
b) 16 
c) 10 
d) 20 
**Resposta:** a) 25 
**Explicação:** O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( |z| = 
\sqrt{a^2 + b^2} \). Portanto, 
\[ |z|^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]. 
 
87. Qual é o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 + i \)? 
a) \( 4i \) 
b) \( -4 \) 
c) \( 4 \) 
d) \( -4i \) 
**Resposta:** b) \( -4 \) 
**Explicação:** Primeiro, calculamos \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
Agora, \( z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = -4 \).