NG matematica com amor

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b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \sin(x) + C \) 
 d) \( -\cot(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan(x) + C \). 
 
85. **Problema 85**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta**: a) \( 1 \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \), temos \( 1 \). 
 
86. **Problema 86**: Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( 2e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{x} e^{x^2} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = x^2 \), resultando em \( \frac{1}{2} e^{u} + C 
\). 
 
87. **Problema 87**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 6 \) 
 **Resposta**: a) \( 3 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite, onde \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \). 
 
88. **Problema 88**: Calcule a integral \( \int \sin(2x) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 c) \( -\sin(2x) + C \) 
 d) \( \cos(2x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \sin(kx) \) é \( -\frac{1}{k} \cos(kx) + C \). 
 
89. **Problema 89**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{7}{3} \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta**: c) \( 2 \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos 
\( 2 \). 
 
90. **Problema 90**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 - 1} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \ln|x^3 - 1| + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} \ln|x - 1| + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} \ln|x^3 - 1| + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) 
 **Resposta**: c) \( \frac{1}{3} \ln|x^3 - 1| + C \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição e a integral de uma função logarítmica. 
 
91. **Problema 91**: Calcule a integral \( \int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta**: c) \( -1 \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3}{2}x^2 + 2x \). Avaliando de 1 a 
2, temos \( -1 \). 
 
92. **Problema 92**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: a) \( 2 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, onde a derivada de \( e^{2x} - 1 \) é \( 
2e^{2x} \). 
 
93. **Problema 93**: Encontre a integral \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( -\frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: d) \( -\frac{1}{3} \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = x^3 - 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( -\frac{1}{3} 
\). 
 
94. **Problema 94**: Calcule a integral \( \int \sec^2(x) \, dx \). 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \sin(x) + C \) 
 d) \( -\cot(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan(x) + C \). 
 
95. **Problema 95**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \). 
 a) \( 1 \)