pr a vida da matematica

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**Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C 
 \] 
 
40. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{3x^3 + 2} 
 \] 
 a) \(\frac{2}{3}\) 
 b) \(\frac{5}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Dividindo cada termo pelo maior grau de \(x\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{2}{x^3}} = \frac{2}{3} 
 \] 
 
41. **Qual é a derivada de \(f(x) = \cos(x^2)\)?** 
 a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 b) \(-\sin(x^2)\) 
 c) \(-2x \cos(x^2)\) 
 d) \(-x^2 \sin(x)\) 
 **Resposta:** a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2) 
 \] 
 
42. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{5}{12}\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Integrando: 
 \[ 
 \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = \left[x^4 - x^3 + 2x\right]_0^1 = (1 - 1 + 2) = 2 
 \] 
 
43. **Qual é a integral de \(f(x) = x^2 e^{x^3}\)?** 
 a) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 b) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 d) Não existe forma elementar 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^3\), \(du = 3x^2 \, dx\): 
 \[ 
 \int x^2 e^{x^3} \, dx = \frac{1}{3} e^{x^3} + C 
 \] 
 
44. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} 
 \] 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 
 \] 
 
45. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\)?** 
 a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2}\) 
 c) \(\frac{1}{x}\) 
 d) \(\frac{1}{1 - x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 **Explicação:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} 
 \] 
 
46. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) \(\frac{3}{8}\) 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\): 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{2}{3} 
 \]