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Aprendizagem de Máquinas Aplicada à Ciência Florestal 
(PCF-574) 
Prof. Calegario 
 
1) Vetores 
Na Ciência Florestal, os vetores são utilizados para a representação de registros de 
informações quantitativas ou qualitativas de uma ou mais variáveis associadas com 
determinado objeto, como, por exemplo, o DAP (Diâmetro à Altura do Peito) de vários fustes 
de árvores ou a área basal de várias unidades amostrais. Portanto, os vetores são 
representados por um arranjo numérico, ou por segmentos de retas, que possuem intensidade, 
direção e sentido, orientados no espaço vetorial 𝕍𝑛, em que n representa sua dimensão e 𝕍 
composto por números reais. Se 𝕍 representa o Volume com casca de fustes e n=10, o nosso 
vetor contém informações do volume com casca de 10 fustes obtidos com, por exemplo, 
cubagem rigorosa. Na Figure 1, o segmento de reta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ é representado no espaço vetorial 
n=2 e pelos pontos X=(0,5) e Y=(0,7). Como o segmento parte da origem, também pode ser 
representado como 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ =(5,7), sendo que o primeiro número representa a abscissa e o 
segundo a ordenada, no caso de ℝ2. O segmento 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ também pode ser representado por um 
único símbolo como, por exemplo, a. 
 
 
 
Figura 1 
 
 
De uma forma geral, um vetor 𝕍𝑛 pode ser representado pela seguinte expressão: 
𝕍𝑛= {(v1, v2, . . . , vn) | vi ∈ ℝn , 1 ≤ i ≤ n}, em que v1, v2, …, vn são components de 𝕍𝑛 . 
 
1.1) Intensidade, módulo ou norma de um vetor 
A intensidade, módulo ou norma de um vetor é dada pelo seu comprimento. Na Figura 1, 
para calcularmos a intensidade do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, simplismente aplicamos o teorema de 
pitágoras, em que: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = 52 + 72 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √74 =̃ 8,6 
A intensidade é representada pela expressão ‖ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖. No caso de um vetor em ℝ3, sua 
intensidade será ‖ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √𝑋2 + 𝑌2+𝑍2. Para maiores dimensões, o raciocínio será o 
mesmo. 
 
 
 
1.2) Direção de um vetor 
A direção de um vetor v(v1,v2,...,vn) é representada por um outro vetor, d por exemplo, 
dada pela seguinte expressão: d(v1/||v||,v2/||v||,...,vn/||v||). Como a intensidade de um vetor é 
sempre maior que os valores de seus componentes, a relação vi/||v|| será sempre menor do 
que 1 e ||d|| será igual a 1, também conhecido como vetor unitário. Para o exemplo da 
Figura 2, a direção é representada pelo seguinte vetor: d(5/8,6;7/8,6). Sua intensidade será 
(25/74+49/74)0,5=1. Ou seja, a intensidade do vetor direção será unitária. 
 
Figura 2 
 
1.3) Produto escalar 
Também conhecido como dot product, inner product ou project product, em geometria o 
produto escalar de dois vetores é o produto da magnitude de ambos e o coseno do ângulo 
formado entre eles. 
 
x.y=||x||.||y||.cos(δ) (1) 
 
A Figura 3 mostra os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ com diferentes dimensões e formando um ângulo δ 
entre eles. Para utilizarmos a expressão (1) teremos que conhecer o âgulo δ, que é a 
diferença entre β e α, os quais podem ser calculados. Então o cos(δ)=cos(β-α). Exite 
uma expressão trigonométrica chamada diferença da identidade para coseno, que é 
dada pela seguinte expressão: 
cos(β-α)= cos(β). cos(α)+sin(β).sin(α) (2) 
 
As expressões à direita do sinal de igualdade de (2), conforme exemplo na Figure 3, são 
obtidas pelas dimensões de cada vetor: 
cos(β)=
𝑋
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
|| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ||
 
cos(α )=
𝑋
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|| 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||
 
sin(β)= 
𝑌
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
|| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ||
 
sin(α )= 
𝑌
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|| 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||
 
 
O escalar representando a intensidade de ||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗||=(25+36)0,5=7,81 e de ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗||=(36+9)0,5 
=6,71. Então o coseno do ângulo entre os dois vetores é dado por: 
 
 cos(δ)= (
𝑋
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
|| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ||
. 
𝑋
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|| 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||
+
𝑌
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
|| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ||
. 
𝑌
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|| 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||
)= 
𝑋
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ .𝑋𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑌
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ .𝑌𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ||.|| 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||
 (3) 
 
Na expressão (3) se isolarmos a soma dos produtos dos catetos dos dois vetores, temos que: 
 
𝑋𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑋𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑌𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑌𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗=|| 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||. || 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ||. cos(δ)=∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖
2
𝑖=1 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (4) 
A expressão (4) mostra que o produto escalar nada mais é do que a soma dos produtos das 
coordenadas representando os vetores. Em ℝ𝑛 o produto utiliza a mesma expressão. 
 
 
 
 
 
1.4) Ângulo entre vetores 
Pela expressão (1), para dois vetores x e y, x.y=||x||.||y||.cos θ, sendo θ o ângulo entre os 
vetores x e y. Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles for 90 graus, ou π/2. 
Considere os dois vetores a seguir: 
x = (1,0,1) e y = (1,1,0), então: 
x.y = (1,0,1)·(1,1,0) = 1 + 0 + 0 = 1. 
||x|| = (12 + 02 + 12)0.5 = √2. 
||y|| = (12 + 12 + 02)0.5 = √2 
cos 𝜃 =
𝑥. 𝑦
||𝑥||||𝑦||
=
1
2
 
Implica que 𝜃 =
𝜋
3
 𝑜𝑢 60°.