Estatística - Apostila Estatística Noções Estatística

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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA (RESUMO) 
 
 
Frequentemente assistindo à televisão, lendo jornais ou revistas, nos 
deparamos com gráficos, tabelas que nos dão muitas informações, como 
índices de inflação, consumo de água, taxa de desemprego, taxa de 
mortalidade infantil. 
A todas essas informações devemos inicialmente colher dados, em 
seguida organizá-los e analisá-los. 
Para chegarmos ao resultado desejado utilizamos a Estatística. 
 
 
A estatística pode ser entendida como sendo um campo da matemática 
aplicada que tem por objetivo: coletar, organizar, descrever, analisar e 
interpretar dados. 
 
 
 
POPULAÇÃO 
 
 
 É o conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrência na 
observação de grupos. 
 
Exemplos: 
 
• Conjunto de estudantes do ensino fundamental de uma escola. 
• Conjunto de pessoas que moram num condomínio fechado. 
 
 
 
AMOSTRA 
 
 É uma parte dessa população; isto é, um subconjunto do universo 
estudado. 
 
 
 
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA 
 
 
 Freqüência absoluta de uma variável é dada pelo número de vezes 
que essa variável aparece no conjunto considerado. 
 
 
 
FREQÜÊNCIA RELATIVA 
 
 É a razão entre a freqüência absoluta e o número total de elementos 
do conjunto. 
 A freqüência relativa é dada em porcentagem. 
 
 
 
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA 
 
 
 A freqüência absoluta acumulada é obtida adicionando-se a cada 
freqüência absoluta os valores das freqüências anteriores. 
 
 
Exemplo: 
 
 A tabela mostra a distribuição das idades dos jogadores de um time 
de futebol. 
 
Número de 
jogadores 
Idade 
(em anos) 
Freqüência
absoluta 
Freqüência absoluta 
acumulada 
Freqüência 
relativa 
4 18 4 4 14 % 
6 20 6 10 20 % 
3 21 3 13 10 % 
 
 
 
G
 
 
u
 
 
 
 
 
G
 
 
 
 
 
 
 
 
7 23 7 
2 24 2 
8 25 8 
 TOTAL 30 
RÁFICOS 
 Podemos representar graficam
m levantamento estatístico. 
 As representações gráficas ma
ráfico de segmentos. 
 
 É representado pela união dos
 
 
 
Gr
 
0
50
100
150
200
1°
Trim
2°
Trim
3°
Trim
4°
Trim
Norte
Oeste
Leste
 
20 24 % 
22 6 % 
30 26 % 
30 100 % 
ente a distribuição de freqüências de 
is utilizadas são: 
 segmentos de reta. 
áficos de setores 
1° Trim
2° Trim
3° Trim
4° Trim
 
 
Gráficos de barras Gráficos de colunas 
0
20
40
60
80
100
1° Trim 2° Trim 3° Trim 4° Trim
Leste
Oeste
Norte
 
 
0 50 100
1° Trim
2° Trim
3° Trim
4° Trim
Norte
Oeste
Leste
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
COM DADOS AGUPADOS 
 
 Observando-se as “mesadas” dos alunos da Turma A do colégio X, 
foram obtidos os seguintes valores em reais: 
 
 800 500 700 400 200 
 400 800 200 800 200 
 400 700 400 800 700 
 500 700 300 900 1000 
 
 
 Com esses dados, vamos construir uma tabela de freqüências 
absoluta e relativa. 
 
 Para determinarmos a distribuição absoluta, organizaremos as 
mesadas em ordem crescente (rol). 
 
 200 200 200 300 400 
 400 400 400 500 500 
 700 700 700 700 800 
 800 800 800 900 1000 
 
 
 Observamos que a menor mesada é de 200 reais e a maior é 1 000 
reais. 
 
 A variação de mesadas é 1 000 – 200 = 800. 
 
 Esse valor é chamado de amplitude total. 
 
 Podemos agrupar esses valores em intervalos de classe (são 
intervalos de variação dos dados observados) da seguinte forma: 
 
 
 
 Como a menor mesada é de 200 reais e a maior é de 1 000 reais, 
podemos agrupá-los em intervalos de amplitude 200, ou seja: 
 
 200 ├── 400 4 alunos 
400 ├── 600 6 alunos 
600 ├── 800 4 alunos 
800 ├──┤1000 6 alunos 
 
 Nesse caso, 200 é o limite inferior e 1 000 é o limite superior da 
classe. 
 
 A diferença entre o limite superior e o limite inferior é igual à 
amplitude da classe. 
 
 No intervalo 400 ├── 600, por exemplo, podemos determinar o ponto 
médio do intervalo. 
 
 (400 + 600) ÷ 2 = 500. 
 
 
 Assim, podemos construir a tabela de freqüência com classes. 
 
 
Mesadas (reais) Freqüência 
absoluta 
Freqüência 
absoluta 
acumulada
Freqüência 
relativa 
Freqüência 
relativa 
acumulada 
 
200 ├── 400 
 
 
4 
 
4 
 
20 % 
 
20 % 
 
400 ├── 600 
 
 
6 
 
10 
 
 
30 % 
 
50 % 
 
600 ├── 800 
 
 
4 
 
14 
 
20 % 
 
70 % 
 
800 ├──┤1 000 
 
 
6 
 
20 
 
30 % 
 
100 % 
 
 
 
 
20 
 
100 % 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
Uma distribuição de freqüências, ao ser representada graficamente, 
tem por objetivo fornecer informações analíticas de uma maneira mais 
rápida. A sua representação gráfica se faz através do histograma, ou 
polígono de freqüência. 
 
 
HISTOGRAMA 
 
É formado por um conjunto de retângulos justapostos, onde no eixo 
das abscissas temos os intervalos de classes e no eixo das ordenadas, as 
freqüências. 
 
 
Exemplo: 
 
Consideremos a tabela que representa as médias de 100 alunos do 3º 
ano do ensino médio do Colégio Alfa, em Matemática. 
 
 
Classes fi fa 
0 ├── 2 
2 ├── 4 
4 ├── 6 
6 ├── 8 
 8 ├── 10 
40 
30 
10 
15 
 5 
40 
70 
80 
95 
 100 
Fonte: Secretaria do Colégio 
 
fi: freqüência absoluta. 
fa: freqüência acumulada. 
 
 
 
 
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA 
 
È o gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos 
intervalos de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (OU DE POSIÇÃO) 
 
 As medidas de posição nos mostram a localização dos elementos da 
amostra quando esta é disposta em rol. 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA (X ) 
 
 
Considerando um grupo de 20 pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, 
observamos que: 
 
21,4
5
107
5
2024212022x ==++++= 
 
 
 
 
Calcular a média aritmética ponderada de um aluno que obteve no 
bimestre 8,0 (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 no debate (peso 1) e 
5,0 no trabalho de equipe (peso 2). 
 
 
 
 
 
7
8
56
8
5x29x17x38x2x ==+++=
 
 
 
 
 
LEMBRETE: SOMATÓRIO 
 
 
Exemplo: 
 
1) Calcular o somatório . ∑=
5
1n
n²
 
 
Resolução: 
 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55 ∑=
5
1n
n²
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO ! 
 
 Usa-se também o símbolo de somatório para representar média aritmética. 
 
 
1. Para valores discretos: 
 
n
xi
x
n
1i
∑
==
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
1) As alturas dos jogadores de um time de basquete são 1,98 m; 2,02 m; 
2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura desse time? 
 
Resolução: 
m1,99
5
1,951,922,082,021,98
5
xi
x
5
1i =++++==
∑
=
 
 
 
 
 
 
 
2 . Para valores agrupados em classes. 
 
Quando os dados estão agrupados, aceita-se, por convenção, que 
as freqüências se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, 
portanto, o ponto médio da classe é o valor representativo do 
conjunto. 
Nesse caso, a média é calculada partindo-se do ponto médio da 
classe. 
 
∑
∑
=
== n
1i
n
1i
fi
fi.xi
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde: fi: freqüência da classe. 
 xi: ponto médio da classe. 
 
 
Exemplo: 
 Consideremos a tabela que representa as notas de 45 alunos do 
 3º Colegial em Física, no Colégio Alfa. 
 
∑
∑
=
== n
1i
n
1i
fi
fi.xi
x
Classes Xi fi 
0 ├── 2 1 3 
2 ├── 4 3 9 
4 ├── 6 5 10
6 ├── 8 7 15
8 ├── 10 9 8 
 
 
5,71
45
8.915.710.59.33.1x =++++= 
 
 
 
 
MODA ( Mo) 
 
Define-se como moda de uma série de números ao valor que ocorre 
com a maior freqüência. 
 
Exemplo: 
 15,17, 15, 18, 17, 16, 18, 17, 14, 17, 15 
 
Mo = 17. 
 
 
ATENÇÃO: 
 
 
Amodal: Distribuição que não tem moda. 
 
Exemplo: 
 4, 8, 7, 13, 12, 21 
 
 
Bimodal: Distribuição que apresenta duas ou mais modas. 
 
Exemplo: 
 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 
 
Mo = 3 e 4 
 
 
Distribuições com intervalos de classe: 
 
¾ A classe de maior freqüência é a classe modal. 
 
¾ Moda bruta é a média aritmética dos extremos da classe modal. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Consideremos a tabela que representa as notas de 45 alunos do 
 3º Colegial em Física, no Colégio Alfa. 
 
 Classes Xi fi 
 0 ├── 2 1 3 
 2 ├── 4 3 9 Classe modal: 6├── 8 
 4 ├── 6 5 10 Moda bruta: (6 + 8) ÷ 2 = 7 
 6 ├── 8 7 15 
 8├── 10 9 8 
 
 
 
MEDIANA (Md) 
 
Considerando-se um conjunto de dados dispostos em ordem 
crescente, define-se como mediana ao valor que ocupa a posição central. 
 
 
1. O número de dados é ímpar: 
 
 
Exemplo: 
3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 6, 5 (9 elementos) 
 
 A posição ocupada pela mediana é : 
 
2k + 1 = 9 ⇒ k = 4. 
 
 Posição: k + 1 ⇒ k = 5. 
 
 Colocando em ordem crescente: 2, 3, 3, 4, q, 4, 5, 5, 6 
 
Md = 4. 
 
 
2. O número de termos é par: 
 
 
Neste caso a mediana será a média entre os valores centrais. 
 
 
Exemplo: 
 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. 
 
Md = (4 + 5) ÷ 2 
 
Md = 4,5 
 
 
 
 
Aplicações: 
 
 
01) Foi analisada uma amostra com 10 latas de um determinado refrigerante 
e registrados os volumes em mililitros dos líquidos dessas latas, obtendo-
se os valores: 
298, 300, 302, 303, 299, 301, 297, 300, 300, 300 
 
Calcular a média, a moda e a mediana dessa amostra. 
 
 Resolução: 
 
 Ordem crescente: 297, 298, 299, 300, 300, 300, 300, 301, 302, 303 
 
Média Aritmética. 
 300
10
3000
10
3033023013004299298297 ==++++++= .x 
 
Mediana. 
 Md: (300 + 300) ÷ 2 = 300. 
 
 
Moda. 
 Mo: 300. 
 
 
02) (UFBA) De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07 de 
junho de 2000, o quadro abaixo representa a temperatura máxima, em 
graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e nas capitais da 
Região Nordeste do Brasil. 
 
Aracaju Fernando de 
Noronha 
Fortaleza João Pessoa Maceió 
27ºC 30ºC 31ºC 30ºC 27ºC 
Natal 
 
Recife Salvador São Luís Teresina 
30ºC 30ºC 26ºC 32ºC 32ºC 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar: 
 
(01) O gráfico ao lado 
representa a distribuição de 
freqüência das temperaturas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(02) A freqüência relativa da temperatura de 31ºC é igual a 10%. 
 
(04) Representando-se a freqüência relativa por meio de um gráfico de 
setores, a região correspondente à temperatura de 27ºC tem ângulo de 36º. 
 
(08) A média aritmética das temperaturas indicadas no quadro corresponde a 
29,5ºC. 
 
(16) A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal. 
 
(32) A amplitude das temperaturas é de 32 ºC. 
 
Resolução: 
 
(01) Verdadeira. Freqüência é o número de vezes que ocorre cada 
observação. Logo, podemos resumir o quadro acima na seguinte 
tabela: 
Temperatura Freqüência 
26ºC 1 (Salvador) 
27ºC 2 (Aracaju e Maceió) 
30ºC 4 (Fernando de Noronha, João Pessoa, Natal e 
Recife) 
31ºC 1 (Fortaleza) 
32ºC 2 (São Luís e Teresina) 
Total de observações 10 
(02) Verdadeira. Freqüência relativa é a razão entre a freqüência e o 
número total de observações (10). Para a temperatura de 31ºC, 
temos 1/10, ou seja, 10%. 
 
(04) Falsa. A freqüência relativa, para a temperatura de 27ºC, é 2/10, isto 
é, 20%. Para determinar o ângulo da região corresponde à 
temperatura de 27ºC usaremos a seguinte regra de três: 
 
100  360 
 ⇒ x = 72. 
20  x 
 
(08) Verdadeira. Temos: (26 + 2.27 + 4.30 + 31 + 2.32) ÷ 10 = 29,5 
 A média aritmética das temperaturas é igual a 29,5ºC 
 
(16) Verdadeira. 
 
 A mediana (Md): 
 26 27 27 30 30 30 30 31 32 32 
 
(Md) = (30 + 30) ÷ 2 = 30 
 
Md = 30ºC 
 
A temperatura modal (Mo) é a mais freqüente entre os valores 
observados. 
 
Mo = 30ºC (4 observações) 
 
 
 (32) Falsa. A amplitude (A): 32 – 6 = 6 
 
 A amplitude das temperaturas é 6ºC. 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 As medidas de dispersão indicam o quanto os dados se apresentam dispersos 
em torno da região central. 
 
Consideremos os conjuntos 
 
 A = {6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}, 
 B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 
 C = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 11} 
 
 As médias aritméticas dos elementos desses conjuntos são iguais a 6. 
Entretanto nota-se que a dispersão dos elementos de A em relação à média 
(valores mais ou menos espalhados em relação à média) é nula. A dispersão dos 
elementos de C é maior que a dispersão B, isto é, B é mais homogêneo que C. 
 
As principais medidas de dispersão são: 
 
DESVIO (Di) 
 
 O desvio é definido como sendo a medida do grau de dispersão de cada valor 
da variável em relação à média. 
 
Exemplo: 
 Seja o conjunto B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
 
 
 
 
6
7
42 ==x
D1 = 3 – 6 = – 3 D2 = 4 – 6 = – 2 D3 = 5 – 6 = – 1 
 D4 = 6 – 6 = 0 D5 = 7 – 6 = 1 D6 = 8 – 6 = 1 
 D7 = 9 – 6 = 3 
 
 
 
VARIÂNCIA 
 
Define-se por variância como sendo a média aritmética dos quadrados dos 
desvios. 
 
n
)²x(xi
V
n
1i
∑
=
−
=
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior: 
 
 
4
7
3²2²1²(0)²1)²(2)²(3)²(v =++++−+−+−= 
 
 
 
DESVIO PADRÃO 
 
O desvio padrão é definido com sendo a raiz quadrada da variância. 
 
Dp = V . 
 
 
Exemplo: 
 
 
Vamos comparar o desvio padrão dos Conjuntos B e C. 
 
 B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 
 
 C = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 11} 
 
 
 Conjunto B 
 
V = 4 (exemplo anterior) 
 
Dp = 24 = 
 
 
 Conjunto C 
 
 
 642x ==
7 
 
 
 
 V
 
14,29
7
6)²(116)²106)²(96)²(66)²(36)²(26)²(1 =−+−+−+−+−+−+−=
 
 3,7814,29Dp ==
 
 
 
Comparando o desvio padrão de B (2,00) com o de C (3,78) nota-se 
que o conjunto B é mais homogêneo em relação à média. 
 
O conjunto B é menos disperso que o conjunto C. 
 
 
 
Aplicações: 
 
01) Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali 
existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de 
freqüências: 
 
Salários Freqüência 
$ 50,00 30 
$ 100,00 60 
$ 150,00 10 
 
Qual o desvio padrão dos salários? 
 
Resolução: 
 
Média aritmética: 
 x = (30.50 + 60.100 + 10. 150) ÷ 100 = 90. 
 
Variância: [30.(50 – 90)2 + 60.(100 – 90)2 + 10.(150 – 90)2] ÷ 100 = 900. 
 
Desvio padrão: 
 Dp = 30900 = 
 
O desvio padrão dos salários é $ 30,00 
 
 
 
03) Dois jogadores de futebol de times diferentes marcaram os seguintes 
números de gols em 5 partidas seguidas: 
 
Partida Jogador A Jogador B 
1 0 3 
2 1 3 
3 2 2 
4 6 4 
5 6 3 
 
Qual dos jogadores teve o desempenho mais regular? 
 
Resolução: 
 
Média aritmética: 
 
Jogador A: 
x = (0 + 1 + 2 + 6 + 6) ÷ 5 = 3 
 
Jogador B: 
x = (3 + 3 +2 + 4 + 3) ÷ 5 = 3 
 
 
Variância: 
 
 
Jogador A: 
 
V = [(0 – 3)2 + (1 – 3)2 + (2 – 3)2 +(6 – 3)2 + (6 – 3)2] ÷ 5 = 6,4 
 
 
Jogador B: 
 
V = [(3 – 3)2 + (3 – 3)2 + (2 – 3)2 + (4 – 3)2 + (3 – 3)2] ÷ 5 = 0,4 
 
 
 
Desvio Padrão: 
 
 
Jogador A: 
 Dp = 2,536,4 = 
 
 
 
Jogador B: 
 Dp = 0,630,4 = 
 
 
O jogador B teve o desempenho mais regular.