RMII_torcao

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Resistência dos Materiais II:
Torção de Perfis Abertos e 
Fechados
Prof. Jorge A. R. Durán
Enga. Mecânica UFF – Volta Redonda
duran@vm.uff.br
September 11 1
Objetivos
• Desenvolvimento das principais equações da 
torção em perfis abertos e fechados.
• Aplicações ao projeto mecânico.
Bibliografia Principal
• Hibeler RC, (2008) “Resistência dos Materiais”. 
Thomson Learning Ltda., 5a Ed., Brasil.
• Cook, R.D., Young, W.C. (1999), “Advanced Mechanics 
of Materials”. 2nd ed, Prentice-Hall, Inc. NJ, USA, 
481pp.
• Budynas, R.G., Young, W.C. (2002), “Roark’s Formulas 
for Stress and Strain”, MGraw-Hill, 7ed., New York, 
USA.September 11 2
Equações Fundamentais
• Taxa de Torção (Rate of Twist)
• Rigidez Torsional (Torsional Stiffness) KG
T
KG
T




September 11 3
f (x) f 
f
dx
df
 
Torção de Barra Circular Maciça. 
Método da Mecânica dos Materiais
• Definição de Taxa de Torção:
September 11 4
Deformation of an element of length dx cut from a bar in torsion.
Análise Geométrica
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dx
d
dx
d
r
d
r
bb
dx
bb f

ff  maxmax ''
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Shear stresses in a circular bar in torsion.
Parte Física
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 GG 
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license.
Determination of the resultant of the shear stresses acting on a cross 
section.
Equilíbrio
J
T
Gcomo
JG
T
dAGT
dAGdAT
A
AA










2
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Circular tube in torsion.

2
)(
4
1
4
2 rrJ



September 11 8
Energia de Deformação
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dx
GK
T
U
L
 2
2
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Densidade de Energia de Deformação no 
Cisalhamento puro
©
2
0
0
1
 B
ro
o
ks
/C
o
le
, 
a 
d
iv
is
io
n
 o
f 
Th
o
m
so
n
 L
e
ar
n
in
g,
 I
n
c.
 T
h
o
m
so
n
 L
e
ar
n
in
g ™
is
 a
 t
ra
d
e
m
ar
k 
u
se
d
 h
e
re
in
 u
n
d
er
 li
ce
n
se
.
22
2
22
2
22
2
2
G
G
u
vol
U
uhtvol
thhth
U
V
UW
hthV










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Exemplo: 
Obtenha a 
expressão da 
energia de 
deformação U 
da barra 
engastada de 
seção circular 
mostrada.
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Torção de Eixos Sólidos não circulares
September 11 12
Torção de Eixos Sólidos não circulares
September 11 13
Torção de Eixos Sólidos não circulares
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Torção em Tubos de Paredes Finas
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Observações Importantes
•  = constante através da espessura.
•  pode variar ao redor do tubo se a espessura 
não for constante.
• f = fluxo de cisalhamento = força por unidade de 
comprimento ao redor da seção.
.consttf
ttFF
dxtF
dxtF
ccbbcb
ccc
bbb








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Cross section of thin-walled 
tube.
m
mm
S
S
At
T
AfTAdsr
dsrfTrdsfdT
2
22






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Thin-walled circular tube.
22 rt
T

 
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Thin-walled rectangular tube.
hbt
T
2

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Energia de Deformação e Constante de 
Torção para Tubos de Paredes Finas
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Elemento de largura ds, 
espessura t
e profundidade dx
Vol.=t.ds.dx
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GK
LT
GK
LT
U
t
ds
A
K
t
ds
AG
LT
dx
t
ds
AG
T
U
dxdst
GAt
T
dU
At
T
dxdst
G
dU
G
u
m
mm
L
m
LmLLm
mm











f


2
4
88
2
1
44
22
22
2
2
2
2
22
2
22
2
2
22
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Problema 3.10-2 Gere – Determine a espessura 
necessária tmin do tubo de forma que a tensão de 
cisalhamento máxima não exceda a tensão de 
cisalhamento na barra sólida.
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Problema 3.10-7 Gere – Obtenha as fórmulas para a 
tensão de cisalhamento  e para o ângulo de torção f.
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herein under license.September 11 23
Problema 5.92 – O eixo é feito de latão C83400 e tem 
seção transversal elíptica. Supondo que seja submetido 
à carga de torção mostrada, determinar o max nas 
regiões AC e BC e o f de B com relação a A.
September 11 24
Problema 5.108 – Devido a um erro de fabricação o círculo 
interno do tubo é excêntrico em relação ao externo. Em quantos 
por cento a resistência à torção diminui quando a excentricidade 
é um quarto da diferença entre os raios?
September 11 25
Torção de Perfis Abertos
 Necessária a utilização da Teoria da Elasticidade TE
 Na mecânica dos materiais assume-se um modo 
de deslocamento para obter a solução.
 Na TE a solução tem que satisfazer três 
requerimentos básicos: compatibilidade 
geométrica, equilíbrio e condições de contorno.
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Torção de Perfis Abertos
 Equações Principais da TE para torção (Prandtl, L. 
1903):
n
dAT
G
zydx
d
xs
A














f

2
2
2
2
2
2
 A solução de um problema de torção consiste em 
achar a função =(y,z) que satisfaz as equações 
acima.September 11 28
Analogia da Membrana
• As deflexões laterais de uma membrana sob 
pressão em um dos seus lados correspondem 
à função  de Prandtl.
• O método consiste em obter as equações que 
governam uma membrana (pode-se imaginar 
uma fina película de sabão), esticada em uma 
abertura da mesma forma que a seção 
transversal analisada.
• Para o caso da próxima figura tem-se:
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S
p
zy






2
2
2
2 
A soma das curvaturas em 
direções mutuamente 
perpendiculares é constante 
em toda a membrana.
September 11 30
Analogia da Membrana
• Uma comparação entre as duas equações indica 
que  corresponde a  e que p/S corresponde a 
2G.
• O torque corresponde a duas vezes o volume 
entre a membrana defletida e o contorno =0.
• As tensões cisalhantes correspondem à inclinação 
da membrana nos diferentes pontos.
S
p
zy
G
zy












2
2
2
2
2
2
2
2
2

September 11 31
Analogia da Membrana
• A figura anterior (à direita) corresponde a 
contornos experimentais de uma membrana 
formada em uma abertura em forma de I.
• Todos os contornos estão separados pelo mesmo 
incremento  na elevação.
• O espaçamento entre as linhas de contorno é 
menor na região de transição o que indica que as 
tensões cisalhantes são maiores.
• Soluções tabeladas no Roark’s Formulas ... Cap. 
10, p. 381.
September 11 32
Analogia da Membrana: Análise 
Qualitativa.
September 11 33
Analogia da Membrana: Análise 
Qualitativa.
• Quanto maior a espessura, maior a inclinação da 
membrana, então B>C>D na figura anterior à 
esquerda.
• Desprezando a concentração das tensões, espera-
se que o maior  ocorra na interseção do maior 
círculo inscrito com o contorno, ou pontos G na 
figura anterior à direita.
• Cantos vivos como o do ponto E, no entanto, 
apresentam uma elevada concentração das 
tensões o que pode transformar-os em críticos.
September 11 34
Analogia da Membrana
• Obtenha as equações fundamentais da torção em 
barras de seção circular maciça utilizando a analogia da 
membrana.
September 11 35
Exercícios
• Estudar os exemplos resolvidos do Hibbeler.
• Ver exemplos resolvidos p. 381 Roark’s.
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