bxc desafio da matematica

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**Explicação:** A derivada \( y' = -e^{-x} \) em \( x = 0 \) é -1. Usando a fórmula da reta 
tangente, temos \( y - 1 = -1(x - 0) \). 
 
64. **Problema 64:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^4} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Converge absolutamente 
 **Resposta:** b) Converge 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) converge para \( p > 1 \). 
Aqui, \( p = 4 \). 
 
65. **Problema 65:** Qual é a integral \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)? 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( \frac{7}{3} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{7}{3} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
(1 + 2) - (0) = 3 \). 
 
66. **Problema 66:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( e^2 \) 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada de \( e^{2x} \) em \( x = 0 \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2 \). 
 
67. **Problema 67:** Qual é a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \sqrt{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 
2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
68. **Problema 68:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{5}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = 
\frac{7}{12} \). 
 
69. **Problema 69:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) 12 
 **Resposta:** c) 6 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(6x)}{x} = 6 \). 
 
70. **Problema 70:** Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( 
(1, 0) \)? 
 a) \( y = x - 1 \) 
 b) \( y = x \) 
 c) \( y = x + 1 \) 
 d) \( y = \ln(x) \) 
 **Resposta:** a) \( y = x - 1 \) 
 **Explicação:** A derivada \( y' = \frac{1}{x} \) em \( x = 1 \) é 1. Usando a fórmula da reta 
tangente, temos \( y - 0 = 1(x - 1) \). 
 
71. **Problema 71:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 - 4x + 4) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^2 - 4x + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \). Avaliando 
de 0 a 1, temos \( (0 - 0 + 0) - (0) = 0 \). 
 
72. **Problema 72:** Qual é a derivada da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)? 
 a) \( 3x^2 - 6x \) 
 b) \( 3x^3 - 6x + 2 \) 
 c) \( 6x - 3 \) 
 d) \( 3x^2 + 6x \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 - 6x \) 
 **Explicação:** A derivada \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). 
 
73. **Problema 73:** Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( (1 - 2 + 1) - (0) = 0 \). 
 
74. **Problema 74:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{3^n} \). 
 a) Diverge