Aula 12 -ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - ANÁLISE DE DADOS QUANTITATIVOS - PRINCIPAIS REGRAS DA TEORIA DAS PROBABILIDADES

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PROF. GEOVANE ARAÚJO Aula 09
PRINCIPAIS REGRAS DA TEORIA 
DAS PROBABILIDADES
Prof. Geovane Araújo
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As regras fundamentais para o calculo de probabilidade de um ou mais eventos são dadas por:
Regra da adição.
Regra da probabilidade condicional.
Regra da multiplicação.
Regra do complemento.
Teorema da Bayes.
Regras de contagem e interpretações de probabilidade (a priori e a posteriori)
Espaços amostrais equiprováveis.
Um espaço amostral é equiprovável se as frequências relativas de seus elementos tendem a um
mesmo valor quando o número de experimentos aumenta indefinidamente. Por exemplo,
lançamento de dado ou o lançamento de uma moeda.
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Seja E um espaço amostral equiprovável finito e não-vazio. Para quaisquer eventos A e B de E.
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B 
de um mesmo espaço amostral equiprovável, isto é, 
a probabilidade de ocorrer a união dos eventos A e B 
é igual à probabilidade de ocorrer o evento A mais a 
probabilidade de ocorrer o evento B menos a 
probabilidade de ocorrer simultaneamente A e B. Em 
símbolos: ( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )
Regra da adição Probabilidade da união de dois eventos
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QUESTÃO 01. Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. 
Determine a probabilidade de seu numero ser par ou maior que 4. = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 → = 10 : → = 2,4,6,8,10 → = 5 : 4 → = 5,6,7,8,9,10 → = 6
Evento ∩ : ∩ = 6,8,10 → ∩ = 3
 = + − ∩ = 510 + 610 − 310 = 810 = 45
 = ( )
 = 510 = 610 ∩ = 310
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QUESTÃO 02. Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. 
Determine a probabilidade de seu numero ser primo ou maior que 8. = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 → = 10 : → = 2,3,5,7 → = 4 : 8 → = 9,10 → = 2 ∩ :∅ → ∩ = 0 = + − ∩ = 410 + 210 − 0
 = 610
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QUESTÃO 03. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10
estudam Engenharia e Economia. Se um aluno e escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) ele estude Economia e Engenharia?
b) ele estude somente Engenharia?
c) ele estude somente Economia?
d) ele não estude Engenharia nem Economia?
e) ele estude Engenharia ou Economia? = 500 ( ) = 80 de ℎ ( ) = 150 ( ∩ ) = 10 ℎ 
500
ENG ECO
1070 140
280
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500
ENG ECO
1070 140
280
a) ele estude Economia e Engenharia? ∩ = 10500 = 150
b) ele estude somente Engenharia? = 70500 = 750
c) ele estude somente Economia? = 140500 = 1450 d) ele não estude Engenharia nem Economia? ã = 280500 = 2850
e) ele estude Engenharia ou Economia? = 70 + 10 + 140500 = 2250
Evento Complementar ã = 280500 = 2850
1 − 2850 = 50 − 2850 = 2250
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QUESTÃO 04. De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh positivo, 100 têm sangue tipo 0 e 80 
têm fator Rh positivo e sangue tipo 0. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a 
probabilidade de:
a) seu sangue ter fator Rh positivo?
b) seu sangue não ser tipo 0?
c) seu sangue ter fator Rh positivo ou ser tipo 0?
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QUESTÃO 05. Uma cidade tem 50 000 habitantes e 3 jornais, A, B, C. Sabe-se que: 
15 000 leem o jornaI A 
10 000 leem o jornal B 
8 000 leem o jornaI C 
6 000 leem os jornais A e B 
4 000 leem os jornais A e C 
3 000 leem os jornais B e C 
1 000 leem os três jornais. 
Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que: 
a) eIa Ieia peIo menos um jornaI? 
b) ela Ieia só um jornaI? 
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A B
C
15 000 leem o jornaI A 
10 000 leem o jornal B 
8 000 leem o jornaI C 
6 000 leem os jornais A e B 
4 000 leem os jornais A e C 
3 000 leem os jornais B e C 
1 000 leem os três jornais ∩ ∩ = 1000 ∩ = 4000 ∩ = 6000 ∩ = 3000
1000
3000 2000
50006000 2000
2000
29.000
a) eIa Ieia peIo menos um jornaI?50.000 + 29.000 = 21.000 = 21.00050.000 = 2150
50.000
Não leem jornais
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A B
C
6000 2000
2000
50.000
b) ela Ieia só um jornaI? 
 = 2000 + 6000 + 200050000 = 10.00050.000 = 1050 = 15
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QUESTÃO 06. Um colégio tem 1 000 alunos. Destes: 
200 estudam Matemática 
180 estudam Física 
200 estudam Química 
20 estudam Matemática, Física e Química 
50 estudam Física e Química 
70 estudam somente Química 
50 estudam Matemática e Física. 
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de: 
a) eIe estudar só Matemática? 
b) eIe estudar só Física? 
c) eIe estudar Matemática e Química?
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Teorema da multiplicação
Considerado dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral E, a probabilidade de ocorrer
A e B é dada por: ∩ = ( ) × ( / )
Em que ∩ é a probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente e P(B|A) é a
probabilidade de ocorrer B, tendo ocorrido A.
 / = ∩ 
Dados dois eventos A e B do espaço amostral finito e não vazio, a 
probabilidade condicional do evento A, sabendo que ocorreu o evento 
B, indicada por p(A|B) é;
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QUESTÃO 07. Em um cesto de roupas há dez camisetas, das quais três estão furadas. Duas camisetas 
são retiradas ao acaso, sucessivamente e sem reposição no cesto. Qual é a probabilidade de que as 
duas camisetas retiradas não estejam furadas?
Número total de camisetas: = 10
F=camisetas furadas: = 3
NF=Camisetas não furadas: = 7
7/10
3/10
Primeira tentativa
6/9
3/9
7/9
2/9
 ∩ = ( ) × ( / ) ∩ = 710 × 69 = 4290 = 715
 ( / )
 ( )
Segunda tentativa
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QUESTÃO 08. Em uma caixa há vinte selos distintos, de mesmo tamanho e textura, sendo 12
nacionais e 8 importados. Retira-se ao acaso um selo da caixa e registra-se sua origem (procedência).
A seguir, retira-se outro selo da caixa, sem que o primeiro seja reposto, e anota-se a origem. Qual é a
probabilidade de saírem selos de origens diferentes?
12/20
8/20
Primeira tentativa
11/19
8/19
12/19
7/19
 = 1220 × 819 + 820 × 1219 = 96380 + 96380 = 192380 = 4895
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QUESTÃO 09. 12 CDs de MPB e 8 de música sertaneja (S), todos distintos entre si e sem
identificação, estão guardados em uma caixa. Um estudante retira, ao acaso, sucessivamente e com
reposição, dois desses CDs. Qual é a probabilidade de que os dois CDs retirados sejam de música
sertaneja?
12/20
8/20
Primeira tentativa
12/20
8/20
12/20
8/20
 = 820 × 820 = 25 × 25 = 425
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De modo geral, se p(A|B) = p(A), ou seja, se o
fato de ter ocorrido o evento B não altera a
probabilidade de ocorrer o evento A, dizemos
que A e B são eventos independentes e vale a
relação:
Eventos independentes 
Eventos 
Dependentes 
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QUESTÃO 10. Um dado não viciado é lançado e é registrado o número obtido na face superior. Em
seguida uma moeda honesta é lançada e é registrada sua face. Qual é a probabilidade de obtermos
número 5 e coroa?
O espaço a mostrar o para o 
lançamento de uma moeda honesta 
é cara ou coroa epara um 
lançamento de um dado não viciado 
o espaço amostral corresponde as 
faces do dado 
E={cara, coroa}
E={1,2,3,4,5,6}
 = 12 5 = 16 ∩ 5 = 12 × 16 = 112
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QUESTÃO 11. A probabilidade de um atirador X acertar um alvo é de 80%, e a probabilidade de um
atirador Y acertar o mesmo alvo é de 90%
a) ambos atinjam o alvo? ∩ = 0,8 × 0,9 = 0,72
b) pelo menos um atinja o alvo?
 = + − ∩ = 0,8 + 0,9 − 0,72 = 0,98
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QUESTÃO 12. Em uma festa infantil, foram misturados, em uma caixa, 12 brindes para meninos e 15
para meninas, todos empacotados da mesma maneira. Dois brindes são retirados ao acaso,
sucessivamente e sem reposição, da caixa. Qual é a probabilidade de que:
a) ambos sejam para meninos?
b) um seja para meninos e outro para meninas?
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Regra da probabilidade condicional
Chama-se probabilidade condicional de um evento B a
probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que
já ocorreu um evento A. Indicamos essa probabilidade por
P(B|A) (lê-se “probabilidade de B, dado A”).
 = ∩ 
 = ∩ ( )
A B
 ∩ 
 = ∩ 
E
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QUESTÃO 13 Um dado honesto é lançado e sabe-se que a face superior tem um número par.
a) Qual é a probabilidade de que o número obtido seja primo?
b) Qual é a probabilidade de que o número obtido seja um divisor de 5?
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QUESTÃO 14. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. 
a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5? 
b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par? 
c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3? 
d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?
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QUESTÃO 15. Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. 
a) Qual a probabilidade de o número ser par? 
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50? 
c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par? 
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57 De quantos modos distintos Lucas pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que
possui para levar em uma viagem?
58 Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, alemão, italiano e
japonês.
a) De quantas formas distintas um estudante pode se matricular em três desses cursos?
b) De quantas formas distintas ele poderá se matricular em três desses cursos, incluindo
obrigatoriamente o de inglês?
59 Em um grupo de 6 pessoas, a quantidade de duplas que podem ser formadas é maior, menor ou
igual à quantidade de quartetos que podem ser formados? Compare também a quantidade de
duplas com a de trios.