calculadora cientifica 1J4

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**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** Usamos a regra do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). Assim, \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2 \). 
 
**4.** Encontre a segunda derivada da função \( h(x) = e^{2x} \cos(x) \). 
A) \( e^{2x} (2\cos(x) - \sin(x)) \) 
B) \( e^{2x} (4\cos(x) - 2\sin(x)) \) 
C) \( e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x)) \) 
D) \( e^{2x} (4\sin(x) + 2\cos(x)) \) 
**Resposta:** A) \( e^{2x} (2\cos(x) - \sin(x)) \) 
**Explicação:** Primeiro, encontramos \( h'(x) = e^{2x} (2\cos(x) - \sin(x)) \). Para a 
segunda derivada, aplicamos a regra do produto e a derivação de \( \cos(x) \) e \( \sin(x) \) 
novamente, resultando na resposta. 
 
**5.** Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) \( \frac{5}{12} \) 
**Resposta:** D) \( \frac{5}{12} \) 
**Explicação:** Calculando a integral, temos \( \int (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = x^4 - 
\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \). Avaliando entre 0 e 1, obtemos \( 1 - \frac{2}{3} + 
\frac{1}{2} = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \). 
 
**6.** Se \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \), determine os pontos críticos de \( f \). 
A) \( x = -3 \) 
B) \( x = 2 \) 
C) \( x = -4 \) 
D) \( x = 1 \) 
**Resposta:** A) \( x = -3 \) 
**Explicação:** A derivada é \( f'(x) = 2x + 3 \). Igualando a zero, temos \( 2x + 3 = 0 
\Rightarrow x = -\frac{3}{2} \). Portanto, o ponto crítico é \( x = -3 \). 
 
**7.** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
A) Divergente 
B) Convergente 
C) Condicionalmente convergente 
D) Alternante 
**Resposta:** B) Convergente 
**Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) converge para \( p > 1 \). 
Como \( p = 2 \) é maior que 1, a série é convergente. 
 
**8.** Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (2, 4) \)? 
A) \( y = 2x - 4 \) 
B) \( y = 4x - 4 \) 
C) \( y = 4(x - 2) + 4 \) 
D) \( y = 4x - 8 \) 
**Resposta:** A) \( y = 2x - 4 \) 
**Explicação:** A derivada \( y' = 2x \) avaliada em \( x = 2 \) dá \( y' = 4 \). Usando a 
fórmula da reta tangente \( y - y_0 = m(x - x_0) \), temos \( y - 4 = 4(x - 2) \), resultando em \( 
y = 4x - 8 \). 
 
**9.** Calcule o limite \( \lim_{x \to ∞} \frac{2x^3 + 3x^2 - 5}{x^3 + x + 1} \). 
A) 0 
B) 2 
C) 3 
D) 5 
**Resposta:** B) 2 
**Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x \), temos 
\( \lim_{x \to ∞} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{2 
+ 0 - 0}{1 + 0 + 0} = 2 \). 
 
**10.** Determine a integral indefinida \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
B) \( x^3 - 2x + C \) 
C) \( \frac{3}{4}x^4 - 2x^2 + x + C \) 
D) \( \frac{3}{4}x^4 - 2x^2 + C \) 
**Resposta:** A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 1 \, dx = 
x^3 - 2x^2 + x + C \). 
 
**11.** Qual é o valor de \( f(1) \) se \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \ln(2) \) 
D) \( \ln(3) \) 
**Resposta:** C) \( \ln(2) \) 
**Explicação:** Substituindo \( x = 1 \), temos \( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2) \). 
 
**12.** A função \( h(x) = x^2 e^{-x} \) tem um máximo local em: 
A) \( x = 0 \) 
B) \( x = 1 \) 
C) \( x = 2 \) 
D) \( x = 3 \) 
**Resposta:** B) \( x = 1 \) 
**Explicação:** Para encontrar o máximo, calculamos \( h'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} \) e 
igualamos a zero, resultando em \( x(2 - x)e^{-x} = 0 \). Assim, \( x = 0 \) e \( x = 2 \). A partir 
da análise de sinais, verificamos que \( x = 1 \) é um máximo local. 
 
**13.** Qual é o resultado de \( \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \)? 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
**Resposta:** A) 2 
**Explicação:** A integral é \( \int (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \). 
Avaliando de 1 a 2, obtemos \( [\frac{1}{4}(16) - 8 + 8] - [\frac{1}{4} - 3 + 4] = 4 - 0.25 + 3 - 4 = 
2 \).