Análise Matemática: Sequências e Séries

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ANÁLISE MATEMÁTICA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Oliver Kolossoski 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
O foco de estudo da análise matemática são os conceitos de limite, 
derivadas e integrais. Porém, antes de iniciar o estudo de tais conceitos, é 
necessário firmar a base sobre a qual as demonstrações são fundamentadas. Já 
estudamos os conjuntos numéricos, desde a sua construção axiomática; agora, 
vamos estudar as sequências e séries de números reais. Estudar sequências 
será de grande valor para caracterizar, futuramente, resultados acerca de limites, 
e por conseguinte derivadas e integrais, que são o objetivo principal desta 
disciplina. 
Por isso, nesta aula vamos estudar sequências e séries de números reais. 
Caracterizaremos sequências e séries em convergentes ou divergentes, 
estabelecendo resultados que nos auxiliam a determinar se uma sequência ou 
série é ou não convergente. 
TEMA 1 – SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 
Nesta primeira parte, definimos sequências e conceitos classificatórios 
básicos: sequência limitada, monótona, convergente e subsequência. 
Apresentamos resultados relacionando os diversos conceitos, buscando 
entender os conceitos e resultados por meio de exemplos. 
1.1 Sequências de números reais 
Uma sequência de números reais (ou somente sequência) é uma função 
𝑓: 𝑁 ↦ 𝑅. Para cada natural 𝒏, associa-se um número real 𝑓(𝑛). Qualquer 
função define uma sequência. A função não precisa ter uma fórmula fechada. 
Vejamos o exemplo da sequência de Fibonacci: define-se recursivamente 𝑓(1) =
𝑓(2) = 1; assim, para todo 𝑛 ≥ 3, define-se 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛 − 1) + 𝑓(𝑛 − 2), isto é, 
𝑓(3) = 1 + 1 = 2, 𝑓(4) = 1 + 2 = 3, e assim por diante. Conseguimos assim a 
conhecida sequência de Fibonacci: {1,1,2,3,5,8,13, … }. 
Como podemos ver, é mais natural considerar sequências como uma lista 
sequencial de números reais (fazendo jus ao nome), do que um ente matemático 
dependente de domínio e imagem, como uma função. Por isso, é mais comum 
denotar sequências reais como conjuntos {𝑎𝑛}𝑛∈𝑁, conforme o exemplo anterior, 
do que referenciar a função em si. 
 
 
3 
Algumas definições: uma subsequência de uma sequência {𝑎𝑛} é a sua 
restrição a um subconjunto próprio e infinito de números naturais. Uma 
sequência {𝑎𝑛} é dita convergente para um número real 𝑎 se, para todo ϵ > 0, 
houver um natural �̅� ∈ N tal que, se 𝑛 > �̅�, vale |𝑎𝑛 − 𝑎| 𝑎𝑛; a sequência é monótona não decrescente se, 
para todo 𝑛, vale 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛. Analogamente, podemos definir sequências 
monótonas decrescentes e não crescentes. Uma sequência é dita apenas 
monótona se é definida como alguma dessas quatro definições. Uma sequência 
é limitada superiormente se existe um número real 𝑀 > 0, tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 ∀𝑛 ∈
𝑁. De forma similar, definimos uma sequência limitada inferiormente. Por fim, 
dizemos que uma sequência é apenas limitada se for limitada superior e 
inferiormente. 
Como exemplo, considere a sequência {0,1,0,
1
2
, 0,
1
4
, 0,
1
8
, ⋯ }. Isto é, 𝑎_𝑛 =
 0, se 𝑛 é ímpar, e 𝑎𝑛 =
1
2((𝑛−2)/2)
, se 𝑛 é par. Essa sequência é limitada tanto 
inferiormente (por qualquer número negativo) quanto superiormente (por 
qualquer número maior ou igual a 1) – portanto, é limitada. Essa sequência não 
é monótona, pois os elementos pares são sempre menores que os ímpares, de 
modo que 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 se 𝑛 é ímpar; o sinal se inverte se 𝑛 é par. Contudo, a 
subsequência dada pela restrição de {𝑎𝑛} ao conjunto dos naturais pares é 
monótona decrescente. Já a subsequência restrita ao conjunto dos ímpares é 
monótona, tanto não crescente quanto não decrescente, portanto, constante. Por 
fim, vemos que a sequência é convergente para 0, pois, para todo ϵ > 0, 
escolhemos �̅� tal que 
1
2�̅�
 �̅�. 
1.2 Resultados 
Provamos aqui alguns resultados principais acerca de sequências. 
Toda sequência convergente é limitada. Com efeito, seja {𝑎𝑛} 
convergente. Então, existe �̅� tal que |𝑎𝑛 − 𝑎| �̅�, donde −1 �̅�. Segue que a sequência é limitada 
tanto superiormente quanto inferiormente para 𝑛 > �̅�. Já para os números 
 
 
4 
anteriores a �̅�, basta considerar 𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑎1, 𝑎2, ⋯ 𝑎�̅�}. Claramente vale 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 
para todo 𝑛 ≤ �̅�, de modo que a sequência é limitada superiormente. Sendo 
assim, a sequência toda é limitada superiormente pelo maior de 𝑀 e 1 − 𝑎. Um 
raciocínio similar mostra que ela é também limitada inferiormente. 
Toda sequência monótona e limitada é convergente. Suponha, por 
exemplo, que {𝑎𝑛} é monótona crescente. Como ela é limitada, admite supremo. 
Seja 𝑠 o supremo. Pela definição de supremo, dado ϵ > 0, existe �̅� tal que 𝐿 −
ϵ ≤ 𝑎�̅� �̅� 
vale 𝐿 − ϵ ≤ 𝑎�̅� 𝑏, tais que uma subsequência convergisse para um e não 
para o outro, então, tomando ϵ =
𝑏−𝑎
2
 , teríamos elementos tais que 
𝑎−𝑏
2
 0 tal que para todo �̅� vale |𝑎𝑛 − 𝑎| ≥ ϵ para algum 𝑛 > �̅�. Basta tomar a 
subsequência dada justamente por esses 𝑎𝑛 e chegamos a um absurdo. 
Tais resultados facilitam a caracterização de sequências convergentes, e 
podem ser usados para comprovar ou refutar convergências. Traremos 
exemplos de uso no final desta aula. 
TEMA 2 – OPERAÇÕES COM LIMITES DE SEQUÊNCIAS 
Neste tema, estudamos as propriedades operatórias de limites finitos e de 
limites infinitos. Os resultados aqui apresentados nos permitem calcular limites 
de qualquer sequência, cujos termos são dados por combinações convenientes 
de termos de sequências, das quais já sabemos o limite. Você pode praticar esse 
uso nos exercícios do fim desta aula. 
2.1 Operações com limites 
Sejam {𝑎𝑛} e {𝑏𝑛} duas sequências convergentes para dois números reais 
𝑎 e 𝑏, respectivamente. Assim, valem as seguintes propriedades: 
 
 
5 
• A sequência das somas dos termos de ambas {𝑎𝑛 + 𝑏𝑛} converge para 
𝑎 + 𝑏. 
• A sequência do produto dos termos de ambas {𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛} converge para 𝑎 ⋅
𝑏. 
• Se 𝑏 ≠ 0 a sequência da divisão dos termos de ambas {
𝑎𝑛
𝑏𝑛
} converge 
para 
𝑎
𝑏
. 
As provas desses fatos seguem de definição com o uso de pouca 
manipulação matemática, e podem ser feitas como exercício. Como exemplo, 
provamos a propriedade 2. Da definição de convergência temos que, dado ϵ′ >
0, existe um �̅� ∈ 𝑁 tal que para n maior que este vale |𝑎𝑛 − 𝑎| 0, usamos este argumento com ϵ′ ≔
ϵ
|𝑎|+|𝑏|
, e então temos que 
|𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 − 𝑎 ⋅ 𝑏|Dizemos que uma sequência {𝑎𝑛} 
diverge para mais infinito se, para todo número real 𝑀 > 0, existe �̅� ∈ 𝑁 tal que 
se 𝑛 > �̅� então 𝑎𝑛 > 𝑀. Em outras palavras, os termos da sequência ficam 
arbitrariamente grandes, como é o exemplo da sequência {1,2,3,4, ⋯ }. Definimos 
uma sequência divergente para menos infinito de forma análoga. 
Uma consequência dessa definição é que, se uma sequência de números 
reais diverge para mais ou menos infinito, então a sequência dos seus inversos 
converge para 0. Com efeito, dado ϵ > 0, escolha 𝑀 > 0 tal que 
1
𝑀
 𝑎, então o número ϵ = 𝑏 − 𝑎 > 0 é menor que o comprimento de todos os 
intervalos 𝐼𝑛, de modo que certamente a sequência do tamanho dos intervalos 
não tende a zero, o que prova a segunda parte – isto é, se o comprimento dos 
intervalos tende a zero, então necessariamente 𝑎 = 𝑏, portanto [𝑎, 𝑏] = {𝑎}. 
3.2 Teorema de Bolzano-Weierstrass 
O enunciado do teorema de Bolzano-Weierstrass é o seguinte: toda 
sequência limitada admite uma subsequência convergente. 
Para provar esse fato, usamos justamente o teorema dos intervalos 
encaixantes. Considere uma sequência limitada. Então, por definição, todos os 
elementos da sequência estão contidos num intervalo 𝐼1 = [−𝑀, 𝑀]. 
 
 
7 
Vamos cortar esse intervalo pela metade. Como uma sequência tem 
infinitos pontos, pelo menos um dos intervalos (metades) terá infinitos pontos. 
Denomine este intervalo 𝐼2. 
Assim, sucessivamente, vamos criando intervalos encaixantes 𝐼1 ⊃ 𝐼2 ⊃ 
..., de modo que o tamanho deles é sempre a metade do anterior. Sendo assim, 
construímos uma sequência de intervalos encaixantes com o tamanho dos 
intervalos tendendo a zero (os tamanhos são a sequência {
𝑀
2𝑛−2}.), donde, pelo 
teorema dos intervalos encaixantes, a interseção é apenas um ponto 𝑎. 
Considere a subsequência: tome um ponto de 𝐼1, um ponto de 𝐼2, e assim 
por diante. Segue que o ponto 𝑎 necessariamente deve ser o único limite da 
subsequência considerada. 
3.3 Sequências de Cauchy e caracterização de sequências convergentes 
O último resultado da sequência que expomos neste texto é a 
caracterização de convergência via sequências de Cauchy. 
Uma sequência {𝑎𝑛} é dita de Cauchy se os elementos ficam 
arbitrariamente próximos à medida que n cresce. Matematicamente, dado ϵ > 0, 
existe �̅� ∈ 𝑁 tal que, se 𝑛, 𝑚 > �̅�, tem-se |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| �̅�, então |𝑎𝑛 − 𝑎�̅�+1| 0 consegue-se 𝑛′ ∈ 𝑁 tal que, se 𝑛 > 𝑛’, então |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| 𝑛′ ∈ 𝐵. Temos então que |𝑎𝑛 − 𝑎| = |𝑎𝑛– 𝑎𝑚 +
𝑎𝑚– 𝑎| 0, usamos o 
raciocínio com ϵ′ =
ϵ
2
 e provamos o resultado. 
TEMA 4 – SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 
Neste tema, introduzimos o conceito de séries de números reais. 
Definimos também o conceito de convergência e exibimos os resultados 
principais que nos auxiliam a determinar se uma série é convergente ou 
divergente. 
4.1 Séries de números reais 
Dada uma sequência {𝑎𝑛}, considere a sequência {𝑠𝑛} formada a partir de 
{𝑎𝑛} da seguinte forma: 𝑠1 = 𝑎1, 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2, 𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3, e assim por 
diante. 
A sequência {𝑠𝑛} é dita sequência das somas parciais ou reduzidas de 
{𝑎𝑛}, ou simplesmente série de {𝑎𝑛}. Como tem-se que cada termo 𝑠𝑛 pode ser 
escrito como 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1 , denotamos a série como ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 . A razão dessa 
notação fica mais clara quando definimos o conceito de convergência. 
Uma série é dita convergente para um número real 𝑎 se os termos ficam 
arbitrariamente próximos de 𝑎, à medida que 𝑛 cresce, ou matematicamente, 
dado ϵ > 0 existe �̅� ∈ 𝑁 tal que se 𝑛 > �̅�, então |∑ 𝑎1 − 𝑎𝑛
𝑖= | 𝑛 > �̅� fica arbitrariamente pequena. Ou seja, para 𝑛, 𝑚 
suficientemente grandes, os valores ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1 e ∑ 𝑎𝑖
𝑚
𝑖=1 são arbitrariamente 
próximos, e, portanto, uma boa aproximação do valor de convergência da série 
é apenas um termo 𝑠𝑛 qualquer para 𝑛 grande o bastante. Isso justifica a notação 
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 , pois o valor da série seria exatamente o seu limite de convergência se 
conseguíssemos “somar todos os termos”, isto é, ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑎 se {𝑠𝑛} converge 
para 𝑎. Tal observação também nos revela que se uma série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é 
convergente, de modo que a sequência dos termos gerais 𝑎𝑛 deve convergir 
para zero, pois 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1 - ∑ 𝑎𝑖
𝑛−1
𝑖=1 . 
 
 
9 
Por exemplo, a série de termo geral 𝑠𝑛 = 1 + 2 + ⋯ 𝑛, definida a partir da 
sequência dos naturais, não é convergente, entre outra infinidade de exemplos. 
A recíproca desse fato não é verdadeira, como mostraremos a seguir. 
Um exemplo de série convergente é a série geométrica de termo geral 
𝑠𝑛 = 1 +
1
2
+
1
4
+ ⋯ +
1
2𝑛−1. Temos que 
𝑠𝑛
2
= 
1
2
+
1
4
+ ⋯ +
1
2𝑛−2 = 𝑠𝑛 − 1 − 
1
2𝑛−1, 
donde𝑠𝑛
2
= 1 +
1
2𝑛−1
. Tomando o limite quando 𝑛 tende a infinito, vemos que 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑠𝑛
2
= 1, donde a série converge para 2. Em verdade, esse raciocínio pode ser 
estendido para toda série geométrica de razão 𝑝 0 no conjunto dos termos positivos 
𝑃. Pelo critério da comparação com a série ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 , que estamos admitindo 
convergente, a série ∑ 𝑏𝑛𝑃 = ∑ anP restrita a esse conjunto, é convergente. Por 
outro, lado, no conjunto dos termos negativos 𝑁, 𝑏𝑛 = −𝑎𝑛, pelo critério de 
comparação com a série ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 , a série ∑ 𝑏𝑛𝑁 = ∑ (−𝑎𝑛)𝑁 converge. Segue que 
∑ 𝑎𝑛𝑁 também é convergente nesse conjunto, por ser o oposto de ∑ (−𝑎𝑛)𝑁 . 
Ainda, pelas propriedades operatórias, temos que a série original ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é dada 
pela soma das restrições da série aos conjuntos dos termos positivos e 
negativos, donde é convergente e vale ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = ∑ anP − ∑ (−𝑎𝑛)𝑁 . 
O critério de convergência absoluta é especialmente útil para decidir sobre 
a convergência de séries quando os termos têm sinal variável. Por exemplo, 
sabemos que a série ∑
(−1)𝑛+1
𝑛!
∞
𝑛=1 é convergente, pois é absolutamente 
convergente, visto que a série dos módulos dos termos é a série ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=1 , que já 
vimos que é convergente. 
A recíproca desse fato não é verdadeira, como mostraremos a seguir. O 
próximo critério nos permite decidir sobre a convergência de um tipo específico 
de série de sinal variável, a partir dos módulos de seus termos. 
Critério de Leibniz: se {𝑎𝑛} é uma sequência monótona não crescente 
de termos positivos, com os termos tendendo a zero, então a série ∑ (−1)𝑛𝑎𝑛
∞
𝑛=1 
é convergente. Para verificar isso, escreva a série alternada ∑ (−1)𝑛𝑎𝑛
∞
𝑛=1 
como 𝑠2𝑛 ≔ (−𝑎1 + 𝑎2) + (−𝑎3 + 𝑎4) + ⋯ + (−𝑎2𝑛−1 + 𝑎2𝑛). Note que os sinais 
dos termos (−1)𝑛𝑎𝑛 se alternam, e como 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 por hipótese, temos que os 
termos donde a sequência dos termos em parênteses de 𝑠2𝑛 é monótona não 
crescente, pois os termos em parênteses sendo somados são sempre não 
positivos. Ainda, a mesma sequência é limitada inferiormente por −𝑎1, pois 
podemos enxergar os termos como 𝑠2𝑛+1 = −𝑎1 + (𝑎2 − 𝑎3) + (𝑎4 − 𝑎5) + ⋯ +
(𝑎2𝑛 − 𝑎2𝑛+1). Como os termos em parênteses são negativos, pois 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛, 
tem-se que −𝑎1 é uma cota inferior. Segue que a sequência das somas parciais 
é limitada e monótona, e assim, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, é 
convergente. 
 
 
11 
Os mais conhecidos e utilizados critérios de convergência de séries são 
os critérios da razão e da raiz. Ambos apresentam uma filosofia parecida: decidir 
sobre a convergência de uma série por meio do limite de uma função de seus 
termos. Em ambos os casos, se o limite é menor do que 1, então pode-se dizer 
que a série é convergente. Enunciamos a seguir os dois últimos critérios, cuja 
prova pode ser encontrada em uma referência mais focada ao assunto específico 
de sequências e séries, como Matos (2001). 
Critério da razão: considere uma série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 de termos não nulos, e 
defina 𝐿 ≔ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
|, que pode não existir. Se 𝐿 ∈ 𝑅 e 𝐿 1, então a série diverge. 
Critério da raiz: sob as mesmas condições, defina 𝑀 ≔ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|𝑎𝑛|
1
𝑛. Se 
𝑀 1 ou 𝑀 não existe, a série diverge. 
O teste da razão é especialmente bom para decidir sobre a convergência 
de séries envolvendo potências ou fatoriais. Por exemplo, temos que a série 
∑
𝑛𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1 diverge. De fato, tomando o limite do valor absoluto da razão dos termos, 
temos que 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
𝑛𝑛
𝑛!
(𝑛+1)𝑛+1
(𝑛+1)!
| = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
𝑛𝑛(𝑛+1)!
(𝑛+1)𝑛+1𝑛!
| = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
𝑛𝑛
(𝑛+1)𝑛| = 𝑙𝑖𝑚
→∞
|(
𝑛
𝑛+1
)
𝑛
| = 
𝑙𝑖𝑚
→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
=𝑒 > 1. 
Na próxima seção, veremos mais alguns exemplos do uso de critérios de 
convergência para verificar se dadas séries de números reais são convergentes 
ou divergentes. 
TEMA 5 – EXEMPLOS 
Finalizamos nossa aula com alguns exemplos, por meio dos quais 
colocamos em prática os resultados acerca da convergência de séries expostos 
no decorrer da aula, com vistas a verificar se tais séries de números reais são 
convergentes ou divergentes 
5.1 Exemplos de sequências 
O primeiro exemplo a que nos atemos aqui é a importante sequência 
{(1 +
1
𝑛
)
𝑛
}. Um aluno familiar com um curso de cálculo reconhecerá que o limite 
 
 
12 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
define o número de Euler 𝑒. Em verdade, o limite da sequência 
para 𝑛 variando nos naturais ao invés de nos reais é o mesmo. Para mostrar a 
convergência da sequência, analisemos suas propriedades. Primeiro, note que 
a sequência é limitada: de fato, uma cota superior para a sequência é 3. 
Desenvolvendo o binômio (1 +
1
𝑛
)
𝑛
, temos: 
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 1 + (𝑛
1
)
1
𝑛
 +(𝑛
2
)
1
𝑛2+(𝑛
3
)
1
𝑛3+ ... +(𝑛
𝑛
)
1
𝑛𝑛 = 
1 + 1 +
𝑛⋅(𝑛−1)
𝑛2 ⋅
1
2!
 + 
𝑛⋅(𝑛−1)⋅(𝑛−2)
𝑛3 ⋅
1
3!
 + ... + 
𝑛!
𝑛𝑛 ⋅
1
𝑛!
 2𝑛, sempre que 𝑛 > 2, temos que o 
lado direito da desigualdade pode ser limitado pelo termo geral da série ∑
1
2𝑛
𝑛
𝑖=1 , 
que é convergente. Segue que a sequência é limitada pelo seu limite. 
Em verdade, tal sequência pode ser vista como a sequência de somas 
parciais, de modo que o termo geral é 𝑠𝑛 = 1 + (𝑛
1
)
1
𝑛
 +(𝑛
2
)
1
𝑛2+(𝑛
3
)
1
𝑛3+ ... +(𝑛
𝑛
)
1
𝑛𝑛 = 
∑ (𝑖
1
)
1
𝑖
𝑛
𝑖=1 , donde acabamos de mostrar que a sequência é convergente pelo 
critério de comparação. 
Vimos que sequências monótonas e limitadas são convergentes; contudo, 
sequências que são apenasuma ou outra não necessariamente são 
convergentes. Com efeito, considere a sequência {𝑎𝑛 = (−1)𝑛} =
{−1,1, −1,1, ⋯ } . Ela é claramente limitada (inferiormente por -1 e superiormente 
por 1). Contudo, trata-se de um exemplo de uma sequência que não é 
convergente. Para verificar esse ponto, podemos usar a caracterização de 
subsequências: existem duas subsequências de {𝑎𝑛} (a saber, a dos termos de 
índices ímpares e a dos pares), que convergem para limites diferentes; portanto, 
a sequência não é convergente. 
Um exemplo de sequência monótona não convergente é a sequência 
{1,2,3,4, … }, que é monótona crescente. Contudo, a diferença entre seus termos 
arbitrários sempre excede 1, logo a sequência não é de Cauchy. Segue, pela 
caracterização de Cauchy, que a sequência não é convergente. 
 
 
13 
5.2 Exemplos de séries 
Nosso primeiro exemplo é a conhecida série harmônica, dada pela soma 
das frações de n: ∑
1
𝑛
𝑛
𝑖=1 . Tal série é interessante por ser contraexemplo para 
várias ideias aqui consideradas. Note que a sequência dos termos tende a zero, 
portanto a série obedece à condição necessária para a convergência. No 
entanto, como mencionamos anteriormente, essa condição não é suficiente. 
Vejamos que este é um contraexemplo: separe os termos da série harmônica 
em quantias de 2𝑚: 
∑
1
𝑛
𝑛
𝑖=1 = 1 + (
1
2
) + (
1
3
+
1
4
) + (
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
) + ... 
Os termos entre parênteses são maiores que a soma de apenas 2𝑚 vezes 
a última parcela, isto é: 
∑
1
𝑛
𝑛
𝑖=1 > 1 + (
1
2
) + (
1
4
+
1
4
) + (
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
) + ... 
Ou seja, a série harmônica é maior do que a soma da série 
1
2
+
1
2
+
1
2
+ ⋯ 
Contudo, a série de termo geral constante ∑
1
2
𝑛
𝑖=1 diverge, visto que seus 
termos gerais não tendem a zero; logo, pelo critério de comparação, a série é 
divergente. 
Observamos que a série harmônica também é um exemplo interessante 
quando fazendo uso de diversos critérios aqui apresentados: por exemplo, 
fazendo o teste da razão, temos que o limite da razão de seus termos é 𝑙 =
𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
1
𝑛
1
𝑛+1
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
𝑛+1
𝑛
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
𝑛(1+
1
𝑛
)
𝑛
 = 1. 
O critério da comparação nos fornece a resposta sobre a convergência ou 
divergência de uma série para todos os valores reais (ou +∞) de 𝑙, exceto 
apenas um valor. No exemplo, temos que 𝑙 é justamente esse valor, e logo não 
podemos concluir nada a respeito da série, de acordo com esse teste. 
O teste é realmente inconclusivo: podemos também achar séries 
convergentes tal que o limite 𝑙 é igual a 1. É o caso da série geométrica de razão 
2 ∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 que como já vimos é convergente. Nesse caso, o limite é: 
𝑙 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
1
𝑛2
1
(𝑛+1)2
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
(
𝑛+1
𝑛
)
2
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
(1 +
1
𝑛
)
2
=12=1. 
Vimos que séries absolutamente convergentes são convergentes. É o 
critério da convergência absoluta. Contudo, a recíproca não é verdadeira: 
 
 
14 
existem séries que convergem absolutamente, mas que não são convergentes. 
Tais séries têm até um nome: chamam-se séries condicionalmente 
convergentes. Um exemplo é a série alternada da série harmônica ∑
(−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 = 
−1 +
1
2
−
1
3
−
1
4
+
1
5
−...Podemos enxergar esta série como ∑
(−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 = (−1 +
1
2
) +
(−
1
3
−
1
4
) +... Cada termo entre parênteses é positivo e os termos formam uma 
sequência {𝑏𝑛}, sendo 𝑏1 = (−1 +
1
2
), 𝑏2 = (−
1
3
+
1
4
), e assim por diante. A série 
pode então ser vista como ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 . Como a sequência {𝑏𝑛} é monótona não 
crescente, e seus termos tendem a zero, pelo critério de Leibniz, a série é 
convergente. 
Por fim, terminamos com o exemplo da série de Euler. Vimos que a 
sequência definida de termo geral (1 +
1
𝑛
)
𝑛
é convergente (e definimos o limite 
da sequência como o número de Euler 𝑒). Durante o processo da demonstração 
da convergência, verificamos que vale a relação 𝑒 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
 ≤ ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=0 . 
(veja novamente os passos da demonstração). 
Em verdade, a desigualdade contrária pode ser mostrada, isto é, 𝑒 =
 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
≥ ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=0 . Contudo, a prova não será o foco desse texto. Ela pode 
ser encontrada, por exemplo, em Lima (2001). Isso mostra que o número de 
Euler 𝑒 pode ser visto não somente como o limite da sequência {(1 +
1
𝑛
)
𝑛
}, mas 
também como limite da simples série convergente ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=0 . 
NA PRÁTICA 
Nesta aula, estudamos diversos modos de inferir sobre a convergência ou 
não de sequências e séries de números reais. É hora de praticar o aprendido, 
decidindo sobre a convergência das sequências e séries a seguir. 
Use seus conhecimentos adquiridos para responder as seguintes 
perguntas acerca de sequências: 
• A sequência {(1 −
1
𝑛
)} é convergente? Justifique. 
• Considere a sequência {𝑎𝑛}da seguinte maneira: 𝑎1 = 𝑎 > 1, e para cada 
𝑛 > 1, põe-se 𝑎𝑛 = √𝑎𝑛−1. Essa sequência é convergente? Justifique. 
 
 
15 
• Seja 𝑀 > 0. Qual sequência cresce mais rápido para o infinito? {𝑀𝑛} ou 
{𝑛!}? Justifique. 
• Prove a seguinte afirmação utilizando a definição formal de sequências: 
se uma sequência {𝑎𝑛} converge para um número 𝑎 > 0, então existe um 
natural �̅� ∈ 𝑁 tal que para todo 𝑛 > �̅� tem-se 𝑎𝑛 > 0. 
• Teorema do sanduíche para sequências. Prove a seguinte afirmação 
utilizando a definição formal de sequências: se duas sequências {𝑎𝑛}, {𝑏𝑛} 
convergem para o mesmo limite 𝑎 ∈ 𝑅, e se {𝑐𝑛} é uma sequência tal que 
𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ≤ 𝑏𝑛 para todo 𝑛, então a sequência {𝑐𝑛} também converge para 
𝑎. 
Use seus conhecimentos adquiridos para responder as seguintes 
perguntas sobre séries: 
• ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=7 é uma série convergente? Justifique. (Note que a soma começa 
em n=7). 
• Você pode generalizar o item anterior? Se ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é uma série 
convergente, o que se pode afirmar da série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘 , com 𝑘 > 1? 
• Mostre que a série geométrica de razão 𝑝