aumento e juros 1105

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B) \( 12x^2 \) 
 C) \( 24x^2 - 10 \) 
 D) \( 6x^2 - 5 \) 
 **Resposta:** C) \( 24x^2 - 10 \) 
 **Explicação:** Primeira derivada: \( f'(x) = 12x^3 - 10x \). Segunda derivada: \( f''(x) = 
36x^2 - 10 \). 
 
18. **Problema 18:** Qual é a forma da função \( f(x) = \cos(x) \) em termos de sua série 
de Taylor em \( x=0 \)? 
 A) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \) 
 B) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots \) 
 C) \( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots \) 
 D) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \cos(x) \) é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n}}{(2n)!} \). 
 
19. **Problema 19:** Determine a integral \( \int \sin(x) \, dx \). 
 A) \( -\cos(x) + C \) 
 B) \( \cos(x) + C \) 
 C) \( -\sin(x) + C \) 
 D) \( \sin(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( -\cos(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \), uma vez que a derivada de \( -
\cos(x) \) é \( \sin(x) \). 
 
20. **Problema 20:** O que é uma função contínua? 
 A) Uma função que não tem saltos ou quebras 
 B) Uma função que só é definida em números inteiros 
 C) Uma função que sempre cresce 
 D) Uma função que não tem derivadas 
 **Resposta:** A) Uma função que não tem saltos ou quebras 
 **Explicação:** Uma função é contínua em um ponto se o limite da função naquele 
ponto é igual ao valor da função, e é contínua em um intervalo se é contínua em todos os 
pontos desse intervalo. 
 
21. **Problema 21:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Podemos fatorar o numerador como \( (x - 1)(x + 1) \), portanto \( \lim_{x 
\to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
22. **Problema 22:** Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)? 
 A) \( \sec^2(x) \) 
 B) \( \sin^2(x) \) 
 C) \( \cos^2(x) \) 
 D) \( \sec(x) \) 
 **Resposta:** A) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \), que pode ser derivada usando 
a regra do quociente ou a definição da função tangente. 
 
23. **Problema 23:** Determine a integral indefinida de \( e^x \). 
 A) \( e^x + C \) 
 B) \( xe^x + C \) 
 C) \( \ln(e^x) + C \) 
 D) \( x + C \) 
 **Resposta:** A) \( e^x + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^x \) é \( e^x + C \), pois a derivada de \( e^x \) é \( e^x \). 
 
24. **Problema 24:** Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)? 
 A) 0 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) 1 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \), 
então \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 
\frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\left(\frac{x}{2}\right)^2} = 1 \). 
 
25. **Problema 25:** Qual é a função primitiva de \( f(x) = 3x^2 \)? 
 A) \( x^3 + C \) 
 B) \( \frac{3x^3}{3} + C \) 
 C) \( 3x + C \) 
 D) \( 3x^3 + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^3 + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( 3x^2 \) é \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \). 
 
26. **Problema 26:** O que é um ponto de inflexão? 
 A) Onde a função não tem derivada 
 B) Onde a função atinge um máximo ou mínimo 
 C) Onde a concavidade da função muda 
 D) Onde a função é contínua 
 **Resposta:** C) Onde a concavidade da função muda 
 **Explicação:** Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, 
indicando uma mudança na concavidade da função. 
 
27. **Problema 27:** Qual é a derivada de \( f(x) = x^n \) onde \( n \) é um número real? 
 A) \( nx^{n-1} \) 
 B) \( n^2x^{n-1} \) 
 C) \( \frac{n}{x} \) 
 D) \( x^{n-1} \) 
 **Resposta:** A) \( nx^{n-1} \)