Exercicios (1001)-mesclado-107

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O conceito de função quadrática
Uma indústria fabrica bolas de futebol. O custo de produção mensal 
dessas bolas é composto de várias parcelas correspondentes a molde, 
matéria-prima, salário dos operários, transporte, energia elétrica, aluguéis, 
impostos etc. Algumas dessas parcelas são fixas, independentemente do 
número de unidades produzidas. Assim, o custo de produção por unidade 
diminui conforme aumenta a quantidade produzida.
Admitindo que, sob determinadas restrições, para x bolas fabricadas mensalmente, o custo 
de produção por unidade seja 30 2 
x
 ______ 
1.000
 reais, o custo total dessa produção mensal, em real, 
é dado por:
Neste capítulo, estudaremos funções como essa. Note que essa função é representada por 
um polinômio do 2o grau; por isso, ela é chamada de função polinomial do 2o grau ou função 
quadrática.
•	 Em	relação	a	um	sistema	de	abscissas,	a	posição	de	um	móvel	em	movimento	uniformemente	
 variado é expressa pela função polinomial do 2o grau: s 5 s0 1 v0t 1 
at2
 ___ 
2
 , em que s0 é a abscissa 
 onde está o móvel no instante inicial (t 5 0), v0 é a sua velocidade no instante inicial, a é a 
aceleração escalar constante do móvel e t é o tempo transcorrido desde o instante inicial.
Toda função do tipo y 5 ax2 1 bx 1 c, com {a, b, c} - V e a % 0, é denominada função qua-
drática ou função polinomial do 2o grau.
Exemplos
•	 y 5 5x2 2 3x 1 8 • y 5 24x2 1 x	 •	 g(x) 5 x2 2 dll 3 
•	 A	função	que	relaciona	a	área	A de um quadrado com a medida x do lado é dada por A(x) 5 x2.
x
xx 2
O movimento em queda 
livre apresenta aceleração 
constante. Esse é um 
exemplo de movimento 
uniformemente variado. 
f (x) 5 x @ 30 2 
x
 ______ 
1.000
 # ] f (x) 5 2 
x2
 ______ 
1.000
 1 30x
R
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98
.
CAP 5.indb 160 03.08.10 11:53:14
 Gráfico da função quadrática
Observe alguns pontos do gráfico da função quadrática y 5 x2:
Se atribuirmos a x os infinitos valores reais, obteremos o seguinte gráfico:
É possível provar que essa curva é uma parábola com eixo de simetria vertical (perpendicular 
ao eixo Ox). Genericamente, pode-se demonstrar que:
x y
23 9
22 4
21 1
0 0
1 1
2 4
3 9
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
�1�2�3 2 3
y
x
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
�1�2�3 2 3
y
x
A concavidade da parábola de equação y 5 ax2 1 bx 1 c é:
•	 voltada	para o sentido positivo do eixo Oy (para cima) se, e somente se, a  0;
•	 voltada	para o sentido negativo do eixo Oy (para baixo) se, e somente se, a  0.
O gráfico de uma função é uma parábola com eixo de simetria vertical se, e somente se, essa 
função é do tipo y 5 ax2 1 bx 1 c, com {a, b, c} - V e a % 0.
161
S
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	•	
A
	f
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CAP 5.indb 161 03.08.10 11:53:15
Exemplo
Para esboçar o gráfico da função y 5 x2 2 6x 1 5, vamos obter os pontos de intersecção da 
parábola com os eixos Ox e Oy.
•	 Fazendo	y 5 0, temos:
Pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox
Há parábolas que interceptam o eixo das abscissas em um ou dois pontos. Para obter esses 
pontos a partir de y 5 ax2 1 bx 1 c, atribuímos o valor de zero à variavel y, obtendo:
ax2 1 bx 1 c 5 0 (I)
Pela fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau, temos:
x 5 
2b ! dll S 
 __________ 
2a
 , em que S 5 b2 2 4ac
•	 Se	S  0, então a equação (I) terá duas raízes reais e distintas: x1 % x2. Assim, os pontos de 
intersecção da parábola com o eixo Ox serão (x1, 0) e (x2, 0).
•	 Se	S 5 0, então a equação (I) terá duas raízes reais e iguais: x1 5 x2. Logo, a parábola será 
tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 5 x2.
•	 Se	S  0, então a equação (I) não terá raiz real. Portanto, a parábola não terá ponto em comum 
com o eixo Ox.
Ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy
Para obter esse ponto, atribuímos o valor zero à variável x da equação y 5 ax2 1 bx 1 c, obtendo:
y 5 a 3 02 1 b 3 0 1 c ] y 5 c
Logo, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, c).
x2 2 6x 1 5 5 0
S 5 b2 2 4ac ] S 5 (26)2 2 4 3 1 3 5 5 16
x 5 
2b ! dll S 
 __________ 
2a
 ] x 5 
2(26) ! dlll 16 
 ______________ 
2 3 1
 5 
6 ! 4
 ______ 
2
 
} x 5 5 ou x 5 1
Exemplo
Sabemos que o gráfico da função y 5 x2 2 1 é uma parábola. Assim, para obter um esboço 
desse gráfico, atribuímos alguns valores a x, representando no plano cartesiano os pontos de-
terminados. A seguir, desenhamos a parábola que passa por esses pontos. Observe:
0 1
3
8
1
1
23 2 3 x
y
x x2 2 1
23 8
22 3
21 0
0 21
1 0
2 3
3 8
y
 Assim, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (1, 0) e (5, 0).
•	 Fazendo	x 5 0, temos:
y 5 02 2 6 3 0 1 5 ] y 5 5
 Portanto, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5).
162
C
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Fu
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CAP 5.indb 162 03.08.10 11:53:16
Substituindo (II) em (I), obtemos:
ax2 1 bx 1 c 5 k
ou seja:
ax2 1 bx 1 c 2 k 5 0 (III)
Como essa equação deve ter raízes reais e iguais (pois o sistema 
tem uma única solução), impomos S 5 0:
Observe a concordância entre o sinal do coeficiente a de x2 e o sentido para onde está voltada 
a conca vidade da parábola: como a  0, a concavidade é voltada para cima.
1
5
x
y
5
Vértice da parábola
Para determinar as coordenadas do vértice V da parábola de 
equação y 5 ax2 1 bx 1 c, vamos indicar por k a ordenada de V. Assim, 
a reta r de equação y 5 k possui um único ponto em comum com a 
parábola da ilustração ao lado. 
V @ 2 
b
 ___ 
2a
 , 2 
S
 ___ 
4a
 # 
x
rk
V
y
 A parábola poderia estar 
em qualquer outra posição; 
esta ilustração pretende 
apenas facilitar o raciocínio.
Portanto, o sistema 
y 5 ax2 1 bx 1 c (I)
y 5 k (II)
 tem uma única solução.
Desse modo, o esboço do gráfico da função y 5 x2 2 6x 1 5 é:
Então,	a	ordenada	do vértice é: yv 5 2 
S
 ___ 
4a
 
Substituindo k por 
4ac 2 b2
 _________ 
4a
 na equação (III), temos:
b2 2 4a(c 2 k) 5 0 ] b2 2 4ac 1 4ak 5 0
} k 5 
4ac 2 b2
 _________ 
4a
 5 
2(b2 2 4ac)
 ____________ 
4a
 ] k 5 2 
S
 ___ 
4a
 
ax2 1 bx 1 c 2 @ 4ac 2 b2
 _________ 
4a
 # 5 0 ] 
4a2x2 1 4abx 1 4ac 2 4ac 1 b2
 _______________________________ 
4a
 5 0
} 4a2x2 1 4abx 1 b2 5 0 ] (2ax 1 b)2 5 0
} 2ax 1 b 5 0 ] x 5 2 
b
 ___ 
2a
 
Assim, a abscissa do vértice é: xv 5 2 
b
 ___ 
2a
 
Concluímos que o vértice V da parábola de equação y 5 ax 2 1 bx 1 c é o ponto:
163
S
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