artigo - ANALISE_DE_ERROS_MATEMATICOS_NA_RESOLUCAO DE PROBLEMAS APLICADO A FÍSICA ELÉTRICA

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1 REnCiMa, v. 9, n., p. xx-xx, 2018 
 
ANÁLISE DE ERROS MATEMÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
APLICADOS À FÍSICA ELÉTRICA 
MATHEMATICAL ERROR ANALYSIS IN PROBLEM SOLVING, APPLIED TO 
ELECTRICAL PHYSICS 
 
Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos 
Universidade Nove de Julho/Departamento de Informática/a.abrahao@gmail.com 
 
Norma Suely Gomes Allevato 
Universidade Cruzeiro do Sul/Programa de Pós-Graduação/ 
norma.allevato@cruzeirodosul.edu.br 
Resumo 
Este trabalho é um recorte da minha tese, e nosso objetivo é apresentar uma descrição e 
análise dos dados obtidos em uma investigação que estudou, como se apresentam os 
erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em 
um ambiente de ensino através da Resolução de Problemas. A metodologia de pesquisa 
foi de natureza qualitativa. A pesquisa de campo foi realizada com alunos do 3º semestre 
de dois cursos de Tecnologia de uma instituição particular de ensino superior. A 
metodologia de ensino escolhida foi o Ensino e Aprendizagem de Matemática através da 
Resolução de Problemas, particularmente problemas de Física Elétrica relacionados a 
temas da área de tecnologia computacional. Nessa metodologia de ensino, os alunos 
constroem formas de pensar, adquirem hábitos de persistência, de curiosidade e 
confiança em circunstâncias que não lhes são familiares e que lhes servirão além da aula 
de Matemática ou Física, e aprendem conteúdos enquanto resolvem problemas. 
Considerando que o erro é uma etapa indispensável para a construção do conhecimento 
no processo de aprendizagem, a proposta para esta pesquisa foi realizar a análise dos 
erros manifestados nos problemas geradores propostos. Observamos que com a 
aplicação da Metodologia de Ensino e Aprendizagem através da Resolução de Problemas 
com os alunos, sua postura mudou, passando a trabalhar mais sua habilidade analítica e 
ganhando autonomia enquanto buscavam resolver os problemas. 
Palavras-chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Análise de Erros; 
Ensino de Física; Ensino Superior. 
Abstract 
This work is a clipping of my thesis, and our goal is to present a description and analysis of 
the data obtained in an investigation that studied, how to present the mathematical errors 
made by students when solving Electrical Physics problems in a teaching environment 
through Resolution of Problems. The research methodology was qualitative in nature. 
Field research was carried out with students from the 3rd semester of two Technology 
courses of a private institution of higher education. The teaching methodology chosen was 
 
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the Teaching and Learning of Mathematics through Problem Solving, particularly Electrical 
Physics problems related to topics in the area of computational technology. In this 
teaching methodology, students construct ways of thinking, acquire habits of persistence, 
curiosity and confidence in unfamiliar circumstances that will serve them beyond 
Mathematics or Physics, and learn content while solving problems. Considering that error 
is an indispensable stage for the construction of knowledge in the learning process, the 
proposal for this research was to perform the analysis of the errors manifested in the 
proposed generative problems. We observed that with the application of the Teaching and 
Learning Methodology through Problem Solving with students, their posture changed, 
starting to work more analytical skills and gaining autonomy while trying to solve problems. 
Keywords: Mathematical Education; Troubleshooting; Error Analysis; Physics Teaching; 
Higher education. 
Introdução 
Em geral, quando há a necessidade de se utilizarem conteúdos matemáticos em 
aplicações de conteúdos científicos no cotidiano (em nossa tese, os conteúdos de Física 
Elétrica), surge a fragilidade e a falta de compreensão de alguns tópicos matemáticos 
anteriores, o que impede o aluno de estruturar suas resoluções/aplicações. Com isso, o 
aluno não sai do lugar, ou seja, não avança na aprendizagem desses novos conteúdos do 
Ensino Superior. 
Também é fato que os alunos chegam ao nível superior trazendo consigo algumas 
lacunas nos conteúdos de Matemática e Física. 
Desse modo uma das tarefas mais executadas pelos alunos é a resolução de 
problemas. Ao olhamos para o passado e mesmo no presente, percebemos que estamos 
rodeados de problemas. Investigações em Educação Matemática assinalam a importância 
da Resolução de Problemas enquanto prática educativa no ensino de Matemática. Assim, 
o ensino de Matemática através de Resolução de Problemas vem se desenvolvendo, e 
este artigo relata um estudo desenvolvido em sala de aula utilizando essa metodologia, 
contribuindo para que o aluno deixe de trabalhar em um processo mecanizado de 
resultados matemáticos, e construa novos conhecimentos. 
O estudo considerou a análise de erros nas resoluções dos problemas 
matemáticos apresentados pelos alunos, não como procedimento de avaliação somativa, 
visto que não foi atribuída nenhuma nota ou conceito. Ao utilizar os erros cometidos pelos 
alunos como elementos de estudo para uma avaliação formativa e continua procurando 
compreender onde os alunos estão com dificuldades, criam-se, assim, subsídios para 
sanar suas dúvidas. 
O presente artigo foi estruturado com duas seções teóricas, uma a respeito da 
Resolução de Problemas e outra sobre Análise de Erros. A seguir apresentamos de modo 
breve a metodologia empregada na pesquisa para, em seguida, descrever e analisar 
alguns dados gerados pelos alunos. Finalizamos com algumas considerações finais. 
 
Resolução de Problemas 
 
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Estudos em Educação Matemática no Brasil e no mundo apresentam algumas 
alternativas de abordagens para o seu ensino e para as pesquisas, e uma delas é a 
Resolução de Problemas. 
A palavra problema está frequentemente associada a diferentes acepções, não se 
distinguindo, por vezes, exercício e problema. Para Onuchic (1999, p. 215), “problema é 
tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”. Outra 
abordagem considerada é dada por Van de Walle (2009), em que “um problema é 
qualquer tarefa ou atividade para a qual os estudantes não têm métodos ou regras 
prescritas ou memorizadas, nem a percepção de que haja um método específico para 
chegar à solução correta” (HIEBERT et al., 1997 apud VAN DE WALLE, 2009, p. 57). 
Dois outros pesquisadores, Krulik e Reis (1980, p. 1), definem problema como 
“uma situação quantitativa ou não, que pede uma solução para o qual os indivíduos 
implicados não conhecem meios ou caminhos evidentes para obtê-la”. Nesse sentido, a 
perspectiva dada por Carrillo (1996) é a de que: 
O conceito de problema deve associar-se a uma aplicação significativa 
(não mecânica) do conhecimento matemático a situações não familiares, 
a consciência de tal situação, a existência da dificuldade na hora de 
enfrentar se a ela e a possibilidade de ser resolvido aplicando tal 
conhecimento (CARRILLO, 1996, p. 101). 
Em um trabalho mais atual, Allevato (2007, p. 1) destaca que “o termo problema 
está bastante presente no dia-a-dia de quem trabalha com Matemática, mas nem sempre 
seu uso vem acompanhado de um consciente posicionamento sobre o seu significado”. 
De acordo com Cai e Lester (2012, p. 148), “quando os pesquisadores uti lizam o 
termo resolução de problema, eles estão se referindo a tarefas matemáticas que têm o 
potencial de proporcionar desafios intelectuais que podem melhorar o desenvolvimento 
matemático dos alunos”. Contudo, para que haja o desenvolvimento do aluno, devem-se 
considerar exclusivamente os "problemas que valem a pena” (CAI; LESTER, 2012, p. 
149), visto que dão aos alunos a oportunidade de consolidar e ampliar o que já sabem, 
estimulando a aprendizagem da Matemática. 
Ainda que a resolução de problemasseja um termo rotineiramente empregado 
entre professores de Matemática e pesquisadores em Educação Matemática, nem 
sempre está explícito como é concebido ou com que objetivo é empregado no ensino. 
Escolhendo problemas para os alunos resolverem, o professor pode criar 
oportunidades de ensino em que os alunos podem, por meio de trocas de experiências 
em um determinado assunto, resolver problemas matemáticos complexos e aprender 
Matemática. Concordamos com Cai e Lester (2010) em que o termo resolução de 
problemas refere-se a “tarefas matemáticas que têm o potencial de proporcionar desafios 
intelectuais para melhorar o entendimento e desenvolvimento matemático dos estudantes” 
(CAI; LESTER, 2010, p. 1, tradução nossa). 
A resolução de problemas exerce um papel importante no desenvolvimento das 
habilidades dos alunos. Pesquisas sobre ensino e aprendizagem através de resolução de 
problemas matemáticos vêm crescendo consideravelmente nos últimos anos, oferecendo 
 
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sugestões valiosas para professores e elaboradores de currículo. Allevato (2007) entende 
que o termo "problema" é intrínseco ao cotidiano daqueles que lidam com a Matemática, 
mas, corriqueiramente, o sentido dado ao termo, é inconscientemente deturpado ou seu 
significado incompreendido. Pesquisadores como Cai e Lester (2010) entendem que 
Os problemas matemáticos que são verdadeiramente problemáticos e 
envolvem matemática significativa têm o potencial de fornecer os 
contextos intelectuais para o desenvolvimento matemático dos 
estudantes. No entanto, apenas "problemas que valem a pena" dão aos 
alunos a oportunidade de consolidar e ampliar o que eles sabem e 
estimular a aprendizagem de matemática. (CAI; LESTER, 2010, p. 1, 
tradução nossa) 
Atualmente, entre as pesquisas em Educação Matemática, ainda há diferentes 
maneiras de conceber a Resolução de Problemas. 
Segundo o NCTM (2000) 
A resolução de problemas implica o envolvimento numa tarefa, cujo 
método de resolução não é conhecido antecipadamente. Para encontrar a 
solução, os alunos deverão explorar os seus conhecimentos e através 
deste processo desenvolvem, com frequência, novos conhecimentos 
matemáticos. A resolução de problemas não só constitui um objetivo da 
aprendizagem matemática, como é também um importante meio pelo qual 
os alunos aprendem matemática. (NCTM, 2000, p. 57) 
Para Onuchic (1999) “problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se 
está interessado em resolver” (ONUCHIC, 1999, p. 215). A autora defende o ensino 
através da resolução de problemas, em que os problemas passam a ser ponto de partida 
e os professores devem fazer conexões entre diferentes ramos da matemática, gerando 
novos conceitos e novos conteúdos. Desse modo, entende que “o ponto de partida das 
atividades matemáticas não é a definição, mas o problema” (ONUCHIC, 1999, p. 215). 
Pesquisas desenvolvidas por Onuchic (1999), Onuchic e Allevato (2005, 2011) 
indicam que resolução de problemas é um dos bons caminhos para se aprender 
Matemática, mas em geral se utiliza resolução de problemas apenas como aplicação do 
que se aprendeu e de conhecimentos anteriores. Onuchic (1999) comenta que não há 
melhor intervenção que se possa realizar ao processo de aprendizagem do que o esforço 
em constituir um professor bem formado, conhecedor do conteúdo e hábil, pois é ele que 
exerce influência sobre os alunos. Especificamente no caso do professor de Matemática, 
isso inclui ter consciência do papel fundamental que a Resolução de Problemas exerce na 
aprendizagem matemática. 
Entretanto, o modo de incorporar a Resolução de Problemas a fim de que promova 
uma aprendizagem significativa, ainda não é óbvio para professores de Matemática. 
Onuchic (1999) aponta, também, que os trabalhos realizados com Resolução de 
Problemas, muitas vezes, não chegam às salas de aula, ficando restritos aos ambientes 
acadêmicos. 
Consoante às concepções aqui discutidas, consideramos, portanto, que o trabalho 
de ensino de Matemática deve acontecer em uma atmosfera de investigação orientada 
em resolução de problemas. 
 
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Análise de Erros 
 
A falha do conhecimento humano tem sido uma preocupação constante de filósofos 
e outros pensadores, dedicados a estudar a capacidade do homem por conhecer e 
compreender, visto que em todo o processo do conhecimento é latente a possibilidade de 
considerar como verdade conceitos e procedimentos errados. 
No âmbito da Educação Matemática, os erros aparecem constantemente nas 
resoluções dos alunos, essas dificuldades são de diferentes naturezas, que por vezes 
foram geradas durante o processo de aprendizagem, se conectam e reforça-se na 
complexidade do processo de aprendizagem, construindo obstáculos que se manifestam 
na pratica na forma de respostas equivocadas. 
Entendemos que o erro deve ser respeitado no aluno, por dar indícios de um 
processo cognitivo impróprio, e não somente como consequência da carência de 
conhecimento específico ou uma distração. Para isso, iniciou-se um projeto cujo objetivo 
principal foi tentar responder a seguinte pergunta: Como se apresentam os erros 
matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um 
ambiente de ensino através da Resolução de Problemas? 
Segundo Torre (2007), 
O erro por si mesmo não leva a nada se não for seguido de uma reflexão 
para revelar a verdade. Uma olhada retrospectiva e histórica nas grandes 
descobertas humanas ilustrará como em muitas delas ocorreu o acaso ou 
o erro como força aleatória que possibilitou um resultado bem-sucedido; 
em outros casos, deveu-se à atenta observação de certos fenômenos ou 
de discordâncias insignificantes. Não se deve condenar nem desprezar o 
erro, por mínimo que este pareça, mas sim analisar seus efeitos. Muitas 
teorias, mais que equivocadas, são incompletas (TORRE, 2007, p. 21). 
Vale ressaltar que as diferenças de estilos e métodos de ensino nas escolas e sua 
estrutura educacional são motivos para se pesquisar sobre os erros na aprendizagem, em 
particular na aprendizagem matemática. Entendemos que a presença permanente de 
erros na construção e consolidação do conhecimento humano é uma questão contextual, 
complexa e delicada. As leituras que realizamos na literatura nos permitem inferir que a 
manifestação do erro indica que há alguma deficiência ou incompletude no conhecimento. 
O erro pode ser encarado como uma condição do que pode acontecer e do que pode ser 
realizado ou aprimorado, um aspecto permanente na busca pelo conhecimento. 
Refletindo sobre a importância de se analisar a produção escrita dos alunos em 
Matemática, Buriasco e Silva (2005) observam que “A análise do erro também pode 
contribuir com o aluno na medida em que o professor o incentive a analisar sua própria 
produção” (p. 501). Buriasco (2000) destaca que "[...] parte dos educadores matemáticos 
enfatiza que em lugar de ser protegido do erro, o aluno deveria ser exposto ao erro muitas 
vezes, ser encorajado a detectar e a demonstrar o que está errado, e por quê" (p. 169). 
Essas orientações favorecem uma nova postura do professor e do aluno frente ao 
erro. Não um sentimento de fracasso ou desalento, mas uma atitude de busca positiva e 
contínua de melhoria e de novas aprendizagens. 
 
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Os erros são elementos que se mostram com frequência em nosso cotidiano e 
podem estar ligados à busca ou à falta de conhecimento. 
A ciência busca um conhecimento que corresponde à verdade, mas o 
desenvolvimento do conhecimento científico está repleto de erros. O papel da 
aprendizagem é caminhar na construção de conhecimento verdadeiro, livre de erros. 
Entretanto, os processos de aprendizagem envolvem erros sistemáticos, que representam 
uma possibilidade permanente na aquisição e consolidação desse conhecimento.Em um de seus trabalhos, Borasi (1985) comenta que ao considerarmos os erros, 
estaremos abrindo caminhos para conhecer a concepção de uma pessoa em relação a 
um conceito matemático, ou mesmo para revelar a “natureza da matemática” dessa 
pessoa. Dessa forma, as concepções de erros podem ser identificadas como: 
Atualmente, uma das inquietações do professor está na dúvida quanto à forma de 
expor aos alunos os conceitos fundamentais de sua disciplina, fazendo-os compreender 
esses conceitos, partindo dos conhecimentos adquiridos durante sua escolarização. Cury 
(2006) entende que a análise de erros pode ser entendida como metodologia de 
pesquisa, com enfoques apontados pelos pesquisadores e pelas teorias em que se 
apoiam essas pesquisas. Pode ser entendida como metodologia de ensino no instante em 
que se propõem atividades de exploração dos erros, originando a construção de 
conhecimentos. 
Quando buscamos analisar os erros realizados pelos alunos, estamos interessados 
em entender e compreender suas dificuldades de aprendizagem, apoiando-os para 
superar esses erros. Borasi (1987) argumenta que os erros podem ser utilizados para 
impulsionar a compreensão de forma mais completa acerca do conteúdo matemático, 
como um caminho para incentivar o pensamento crítico sobre conceitos matemáticos, 
como “trampolins” para a resolução de problemas, e para motivar a reflexão e a pesquisa 
sobre a natureza da Matemática. A autora apontou para a necessidade de repensar o 
papel dos erros no ensino da Matemática, com o propósito de fazer pleno uso do seu 
potencial educativo. 
Também Borasi (1996) comenta que a análise a respeito de um erro tende a 
encaminhar o aluno a ampliar suas atividades nos diferentes graus de abstração, como: 
cumprimento de uma tarefa, processo de aprender uma técnica e perceber o significado a 
respeito da natureza da Matemática. Além disso, Borasi (1985) comenta que explicar 
porque está errado e corrigir, motivando os alunos com perguntas, é muito importante 
para o ego do aluno, que se sentirá mais motivado a buscar novos conhecimentos. 
Uma análise mais detalhada desses aspectos ligados ao erro e dos autores citados 
nesta seção, pode ser encontrada em Bastos e Allevato (2011). Em qualquer uma dessas 
situações, podemos trabalhar o erro para atenuá-lo, para alcançar novos conhecimentos 
ou para promover novas investigações. 
 
Metodologia de Pesquisa 
 
A pesquisa aqui apresentada é de caráter qualitativo e se alinha pela necessidade 
de aproximação e familiarização com os sujeitos e com a situação a ser desenvolvida. 
 
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Nesta pesquisa, o contato com os sujeitos foi bastante estreito e frequente, com a 
intenção de observá-los e de coletar material produzido por eles. Os autores Bogdan e 
Biklen (1994) asseguram que a pesquisa qualitativa encaminha o pesquisador a 
compreender as perspectivas dos sujeitos participantes. Ela nos mostra situações que 
ocorrem durante o processo de investigação que, com frequência, ficam invisíveis aos 
observadores externos. Decorre, então, a necessidade de imersão do pesquisador no 
ambiente pesquisado; 
A interpretação não é um ato autônomo, nem é determinada por nenhuma 
força particular, humana ou não. Os indivíduos interpretam com o auxílio 
das outras – pessoas do passado, escritores, família, figuras da televisão 
e pessoas que se encontram nos seus locais de trabalho e divertimento -, 
mas estas não o fazem deliberadamente. Os significados são construídos 
através das interações. (BODGAN; BIKLEN, 1994, p. 55). 
Neste tipo de pesquisa, o investigador não é neutro, pois interpreta os dados 
coletados, segundo pressupostos teóricos que assume e segundo sua visão de mundo. 
O motivo que nos fez optar pela pesquisa qualitativa é o fato de que para a 
investigação e compreensão das questões formuladas, existe a necessidade de 
familiarização com os sujeitos e com a situação a ser pesquisada. 
Flick (2009) comenta que nos métodos qualitativos, a comunicação do pesquisador 
em campo é parte integrante da produção de conhecimento, em que suas ponderações 
sobre suas próprias atitudes e observações em campo, suas impressões, impaciências, 
sentimentos de angústia são transformados em informações que farão parte da análise de 
dados e estarão documentados em diários de campo ou em protocolos de contexto. 
Assim, em nossa pesquisa, o contato com os sujeitos, alunos da disciplina de 
Infraestrutura Elétrica, foi constante no sentido de observá-los e de recolher material 
produzido por eles relacionado ao tema de investigação. 
 
Delimitação da análise dos dados 
 
Na pesquisa de campo, aplicou-se uma sequência de quatro situações problemas, 
e para este trabalho utilizamos o problema 2. Nesse problema os alunos foram desafiados 
a elaborar 3 perguntas que pudessem ser respondidas com os dados do problema, e 
responder a uma delas. 
Os sujeitos desta pesquisa foram alunos dos cursos de Tecnologia em Redes de 
Computadores e de Formação Específica em Gestão de Ambientes Internet e Redes de 
Computadores de uma instituição particular de ensino superior da cidade de São Paulo, 
matriculados na disciplina de Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores, 
ministrada pelo pesquisador que é também professor das turmas investigadas. Os 
encontros para sua realização aconteceram dentro da carga horária e durante as aulas 
regulares da disciplina. 
O sentimento de vários desses estudantes universitários quando se trata dessa 
disciplina que aborda elementos de eletricidade, é de que não veem aplicação do 
conteúdo ministrado em suas práticas diárias. Buscamos, então, através de Resolução de 
 
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Problemas, inserir o conteúdo da disciplina em problemas aplicados, e analisamos os 
erros matemáticos cometidos por esses alunos. Para a análise aqui desenvolvida, foram 
considerados apenas os problemas que apresentaram erros, sendo agrupados 
independentemente dos campi. Fizeram-se necessárias sucessivas leituras como forma 
de detectar os erros de acordo com os objetivos estipulados para cada problema e para a 
pesquisa. 
As leituras a respeito de Análise de Erros sugerem categorizar os erros pelos 
padrões existentes neles, podendo ser: individual, quando as pessoas mostram 
regularidade no modo de resolver tarefas similares; e coletivo, quando pessoas distintas 
cometem os mesmos erros em determinadas etapas das tarefas. No problema que foi 
analisado está a seguir, tendo como objetivo ser um problema gerador, ou seja, 
desencadeador do processo de compreensão e da formalização dos conceitos de carga 
elétrica, e da relação entre carga e corrente elétrica. Após a aplicação em sala de aula, 
em um segundo momento, avaliamos e analisamos a aprendizagem realizada, através da 
análise dos erros apresentados. 
O problema gerador apresentado aos alunos contém instruções de como proceder, 
conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As informações tinham dois objetivos específicos: o de dar encaminhamento para 
que os alunos partissem de conhecimentos já adquiridos anteriormente (conceitos de 
carga, corrente elétrica, prefixos de base 10) e ajudá-los a relacionar estes 
conhecimentos com o contexto específico do problema, ou seja, preparar questões que 
pudessem ser respondidas com as informações contidas no problema e a partir de seus 
conhecimentos prévios. 
É nesse cenário que Onuchic e Allevato (2011) dizem que não há rigidez em se 
trabalhar com a metodologia do ensino através da Resolução de Problemas. Entretanto, 
sugerem que se organizem as atividades nas seguintes etapas: 
✓ Preparação do problema - Selecionar um problema visando à 
construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse 
QUE QUESTÕES VOCÊ PODE RESPONDER? 
Problemas apresentados na forma de situações que contém dados numéricos. Os alunos 
deverão dar origema uma lista de questões (mínimo 4) que podem ser respondidas, 
baseado nas informações do problema e fornecendo pelo menos uma resposta completa 
para uma das questões. 
Uma grande fabricante de eletroeletrônicos, que se utiliza de monitores de raios catódicos, 
decidiu reduzir a produção desse tipo de produto. Tal medida se deu pelo relatório 
apresentado pelo seu diretor de tecnologia. Dentre as diversas informações contidas no 
relatório estavam às seguintes: 
 
 Monitor SVGA 14” Descrição Técnica 
 
 Corrente elétrica num feixe de elétrons 200 A 
 Tempo em que os elétrons demoram a atingir a tela 1segundo 
 Numero de elétrons que golpeiam a tela 125.1013 elétrons 
 DDP 110 - 220 Volts ~ 
 
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problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o 
conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha 
ainda sido trabalhado em sala de aula. 
✓ Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e 
solicitar que seja feita sua leitura. 
✓ Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do 
problema, agora nos grupos. 
❖ Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode 
auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema. 
❖ Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os 
alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder 
esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, 
consultar um dicionário. 
✓ Resolução do problema - A partir do entendimento do problema, sem 
dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho 
cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos 
como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o 
problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os 
alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para 
aquela aula. 
✓ Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel 
de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam 
resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos 
alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como 
mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a 
troca de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos a utilizarem 
seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias, já conhecidas, 
necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher 
diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que 
dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em 
suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. 
Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver 
problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: 
notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; 
conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a 
continuação do trabalho. 
✓ Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são 
convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, 
erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para 
que todos os alunos as analisem e discutam. 
✓ Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para 
discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, 
para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O 
professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a 
participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento 
bastante rico para a aprendizagem. 
✓ Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as 
resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com 
toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 
✓ Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado 
“formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – 
organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os 
conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da 
resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as 
demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto (ONUCHIC; 
ALLEVATO, 2011, p. 83 – 85). 
 
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Atualmente o procedimento sugerido por Allevato e Onuchic (2014) sugerem 10 
passos. 
A Figura 1, apresenta uma resolução em que a solicitação do problema foi 
cumprida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: resposta esperada do problema 2 
Alguns alunos resolveram de forma parcial e uns poucos entregaram em branco. A 
Figura 2 apresenta um desses trabalhos, em que o grupo elaborou apenas uma pergunta 
do problema e, ao responder, cometeu um erro com relação ao prefixo. 
 
Figura 2: resposta esperada do problema 2 
As leituras a respeito de Análise de Erros sugerem categorizar os erros pelos 
padrões existentes neles, podendo ser: individual, quando as pessoas mostram 
regularidade no modo de resolver tarefas similares; e coletivo, quando pessoas distintas 
cometem os mesmos erros em determinadas etapas das tarefas. Devido a essa 
regularidade, criamos quatro categorias, sendo elas: 
 Categoria 1 - Erros ligados à linguagem natural 
 Categoria 2 - Erros ligados a cálculos incorretos 
 Categoria 3 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento 
matemático prévio 
 Categoria 4 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento físico 
prévio 
Para a resolução do problema na forma correta, os alunos deveriam utilizar o 
prefixo (conjunto de letras utilizadas para expressar valores numéricos na base 10), que 
 
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está logo após o número 200, e que é a letra grega micro (µ), equivalente a 106. A 
resposta aceitável seria R = 220/ (200.106), portando R = 1,1.10-6 . No segundo cálculo, 
teríamos exatamente a metade, ou seja, R = 110/ (200.106), portando R = 0,55.10-6 . 
Com base em aspectos teóricos ligados à análise de erros, passamos a analisar a 
tarefa entregue, segundo as indicações fornecidas pela resolução apresentada pelos 
alunos para o problema, e por meio das observações realizadas em sala de aula, durante 
sua realização. 
No problema 2, apesar de a maioria dos grupos ter completado a tarefa de forma 
positiva, outros mostraram suas dificuldades em expressar seus pensamentos e escrevê-
los de forma razoável a partir do que foi solicitado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Resposta do G2C2 para o Problema 2 
Como mostra a Figura 3, notamos que o grupo trabalhou as perguntas e respondeu 
a uma delas (1), mas de forma desconexa com o solicitado pelo problema. O grupo 
formulou a segunda pergunta também fora do que havia sido solicitado pelo problema; e 
por fim, o que deveria ser a terceira pergunta restringiu-se a um parágrafo também sem 
vínculo com o solicitado. Nesse caso, o erro pode ter sido causado por dificuldades de 
leitura e interpretação do texto do problema. 
Para mostrar a categoria 2, iniciamos por analisar a resolução do problema gerador 
2, que o grupo G3C3 apresentou: 
 
 
 12 REnCiMa, v. 9, n., p. xx-xx, 2018 
 
Figura 2 - Resposta do G3C3 para o Problema 2 
Para essa categoria de análise, o foco está voltado ao item 4. O grupo apresentou 
a fórmula correta e inseriu o valor do numerador corretamente; entretanto, ao selecionar o 
valor a ser inserido no denominador, considerou o valor 220. Neste caso, o grupo pode ter 
pegado novamente a tensão elétrica, que era de 220 V, ao invés de inserir o valor correto 
da corrente elétrica, que era de 200µA. Esse erro pode ter sido a expressão de um mero 
engano na tomada de valores ou de confusão entre conceitos de tensão e corrente 
elétrica. 
Para a categoria 3 temos, em outro protocolo, do problema gerador 2, o grupo 
mostrou o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 -Resposta do G6C3 para o Problema 2 
 
O grupo não preparou questões a serem respondidas, conforme foi solicitado. 
Realizaram algumas aplicações de fórmulas, mas não é possível saber se as aplicações 
dessas fórmulas foram feitas para responder a perguntas pensadas no grupo. 
Entretanto, ao considerarmos os cálculos realizados, podemos ver alguns erros 
cometidos com relação à utilização de conceitos matemáticos. 
Para melhor entender nossa análise para este protocolo, vamos iniciar pela 
utilização da fórmula da 1ª Lei de Ohm – na primeira linha da resolução, em que o 
grupo substituiu os valores de forma correta. Mas os erros ocorreram em cadeia, iniciando 
por não indicar com o sinal (-) no expoente da base 10 ao efetuar a divisão. Também, ao 
considerar o prefixo ‘micro’, o correto na conversão era 10-6, porém foi indicado pelo 
grupo como 103. Ainda, ao efetuar a multiplicação de 0,55 por 103 de forma errônea, 
indicou como resultado um valor 100 vezes menor. 
E finalmente na categoria 4 temos, com relação ao problema gerador 2, o grupo 
G3C3 apresentou a seguinte resposta: 
 
 
 13 REnCiMa, v. 9, n., p. xx-xx, 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Resposta do G3C3 para o Problema 2 
Ressaltamos que neste protocolo, analisou-se o item 3, em que o grupo realizou 
uma reescrita dos valores na base 10, acreditando que desse modo seria permitida a 
substituição da palavra “elétrons” pela unidade de medida Coulomb (C), ou melhor, 
consideraram que o número de elétrons poderia ser fornecido em C, que representa a 
unidade de carga, sugerindo falta de conhecimento sobre esses conceitos e suas 
respectivas unidades de medida. 
Assim, o erro pode ser visto como uma valiosa fonte de informações, um sinal, nem 
sempre muito claro, de que ele pode redirecionar o processo de ensino-aprendizagem. Há 
a possibilidade de ser também uma fonte de motivação, uma oportunidade para os alunos 
refletirem, argumentarem, discutirem e reverem seus conhecimentos para uma melhor 
compreensão e uma maior familiaridade com o raciocínio lógico, matemático e físico. 
Pensamos que essas alternativas de categorização dos erros vão além de 
diagnosticar, permitindo refleti-los como parte da construção de novos conceitos 
matemáticos e físicos, ou de sua revisão, assim como da compreensão da natureza e dos 
métodos da Matemática e da Física. 
Considerações Finais 
 
Dentro do que nos foi possível dentro dos limites deste trabalho, procuramos, nesta 
comunicação, retratar de modo resumido a tese por mim construída, que discorre sobre o 
uso da Resolução de Problemas e da Análise de Erros na investigação em Educação 
Matemática, utilizando resultados de uma pesquisa de doutoramento, em que a análise 
das respostas dos alunos e sua categorização foram construídas a posteriori, a partir dos 
resultados emanados da pesquisa. 
A análise das respostas fornecidas pelos alunos permitiu-nos refletir sobre como 
esses alunos trabalharam com a metodologia de ensino através da Resolução de 
Problemas, e conhecer um pouco mais sobre as dificuldades que alguns desses alunos 
enfrentaram na realização dessa tarefa, que envolveu conhecimentos sobre carga 
elétrica, corrente elétrica e prefixos matemáticos de base 10. As observações realizadas 
nos permitem afirmar que os alunos participantes dessa pesquisa se engajaram de 
maneira muito ativa no trabalho de resolução do problema, tanto nos pequenos grupos 
quanto na plenária. 
 
 14 REnCiMa, v. 9, n., p. xx-xx, 2018 
 
Nesse momento, em que analisamos os resultados dessa investigação sobre o 
ensino através da Resolução de Problemas e Análise de Erros, refletimos sobre a 
viabilidade da utilização em sala de aula da prática realizada nesta pesquisa. 
Particularmente, gostaríamos de contribuir com mais um caminho para o ensino de 
Matemática e Eletricidade no Ensino Superior. Finalizamos este trabalho almejando 
proporcionar, àqueles que compartilham conosco da busca por novas possibilidades de 
ensino, a alternativa do ensino de Matemática através da Resolução de Problemas e da 
Análise de Erros. Cremos que esta forma de ensino possa colaborar para uma 
aprendizagem mais efetiva e significativa. 
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