Apostila de Álgebra_Professor GANDHI2

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Ponto de Ensino		ÁLGEBRA-Prof:GANDHI 
Capítulo1
POTENCIAÇÃO
1. Definição
Dados um número real a e um número inteiro chama-se potencial enésima de a ao produto de n fatores, todos iguais a a.
Representa-se por na onde a é denominado base e n é denominado expoente. Assim, 
Quando n = 2, lê-se a2 como “ a ao quadrado” e quando n =3, lê-se a3 como a ao cubo”.
Exemplo:
(i) 	
(ii) 	
(iii) 	 
(iv) 		
(v) 	
(vi) 	
(vii) 	
2. Definições Especiais
(i) Para e adotam-se as seguintes definições especiais, para todo 
 e 
(ii) Dado um número real, não nulo, e um número natural n defini-se a potência pela relação
Assim, temos que as potências de expoente negativo são definidas como os inversos das correspondentes potências de expoente inteiro positivo.
Exemplos:
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
(v) 
3. Observações
	Das definições anteriores decorre que a base a das potências pode ser um número real positivo, negativo ou nulo e, com base nisto podemos fazer as seguintes observações:
(1) Toda potência de expoente par é positiva
(2) Toda potência de expoente ímpar tem sempre o sinal da base
(3) Toda potência de com expoente positivo é igual a zero. Não se definem nem com negativo.
(4) As potências de são iguais ou conforme o expoente seja par ou ímpar respectivamente.
Assim, 
(5) Não se deve confundir com , porque embora tenhamos dito toda potência de expoente par é positiva, a primeira não está incluída neste caso.
Assim, deve ser feito da seguinte maneira, 
4. Leis dos Expoentes
(I) Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes
Assim, 
(II) Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
Assim,
(III) Para calcular uma potência de uma potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes
Assim, 
Não devemos confundir com pois, a primeira é uma potência cujo expoente é uma potência enquanto que a segunda é uma potência de uma potência. Na prática, torna-se relativamente fácil distingui-se uma vez que na potência de potência aparecem geralmente sinais de agrupamento (parênteses, colchetes e chaves) separando os expoentes. Assim, 
 e 
(IV) Para multiplicar potências de mesmo expoente (isto é, potências semelhantes) conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases. Assim, 
(V) Para dividir potências de mesmo expoente conserva-se o expoente e dividem-se as bases. Assim, 
5. Exercícios de fixação
1. Dentre as afirmativas abaixo, assinale aquela que não é verdadeira para todo natural n:
(A) 	
(B) 	
(C) 
(D) 	
(E) 
2. O valor de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
3. Seja uma operação associativa definida por 
 
O valor de é igual a:
(A) 
		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
4.Definamos como . O valor de
é igual a :
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
5. O valor de é :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
6. Se , , , , e , o valor do produto é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
7.A quarta parte de é igual a :
(A) 		(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
8.A terça parte de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
9. O valor de é igual a :
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
10. Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(A) é o quadrado de .
(B) é o cubo de .
(C) é a quarta potência de .
(D) é a oitava potência de .
(E) é a décima sexta potência de .
11. Qual dos números abaixo é diferente dos demais?
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
12. Sejam , , , e . O valor de é:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
13. O valor de é igual a:
(A) 	(B) 	(C) 1
(D) 		(E) 
14. A razão é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
15. A seqüênciaé a seqüência dos , isto é, a seqüência dos números inteiros que são quadrados de números inteiros, a saber, . Com base nisto, qual dos números abaixo é um ?
(A) 	
(B) 	
(C) 
(D) 		
(E) 
16. O número de quadrados perfeitos compreendidos entre e é igual a 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
17. Seja o número que consiste de algarismos igual a e o número que consiste de algarismos iguais a . O número de dígitos distintos que aparecem no produto é igual a 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
18. Seja o produto do número 
pelo número
O número de algarismos de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 	
19. Qual o valor do inteiro positivo para o qual se tem?
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
20. Resolvendo-se a expressão
 
encontra-se :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
21.O número real positivo N tal que
é igual a:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
22. O valor numérico da expressão 
para e é igual a:
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
23. O valor de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
24.Simplificando-se a expressão
obtem-se:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
25. Sejam e números reais com e . Se e , o valor de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 	
(D) 		(E) 
26. Qual dos números abaixo é o maior ?
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
27. Assinale o maior dentre os números :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
28. Se , , e então:
(A) 		 
(B) 		 
(D) 
(C) 		
(E) 
29. Colocando os números , , , e em ordem crescente obtemos:
(A) 			
(B) 		
(C) 
(D) 
(E) 
30. Colocando-se os números , , e em ordem crescente obtemos a seguinte ordem: 
(A) 		
(B) 		
(C) 
(D) 
(E) 
31. Com relação aos números
 e 
podemos afirmar que :
(A) 		
(B) 		
(C) 
(D) 		
(E) 
32. A soma dos algarismos da representação decimal do número é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
33. O número de zeros com que termina o número é:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
34. Com quantos zeros termina o número ?
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
35. O algarismo das unidades de é :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
36. A expansão decimal de um número natural possui algarismos enquanto que a expansão decimal de consiste de algarismos. Assinale, dentre as opções abaixo, aquela que apresenta um valor que pode assumir:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
37. As representações decimais dos números e são escritas lado a lado. O número de algarismos escritos é igual a:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
38. Sabe-se que . Com base nisto, podemos afirmar que é:
(A) menor que 	
(B) igual a 	
(C) igual a 
(D) igual a 	
(E) maior que 
38. Sabendo que é um número com algarismos cujo primeiro algarismo, da esquerda para a direita, é igual a , quantos números do conjunto , possuem como seu primeiro algarismo?
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
Capítulo2
RADICIAÇÃO
1. Definição
O número real , é a raiz de índice (raiz enésima), sendo um número natural, do número real se, e somente se 
onde, se é par, devemos ter e 
Quando escreve-se ao invés de para representar a raiz quadrada positiva de a.
Quando , é chamada de raiz cúbica de .
O número real é chamado radicando e é chamado radical de índice .
(i) porque 
(ii) porque 
(iii) não são definidas
2. Conseqüência da definição
Decorre imediatamente da definição da raiz n-ésima de que 
Assim, 
3. Observações 
(I) Para todo natural não nulo,
 e 
(II) Para todo natural e quaisquer reais não nulos a e b tem-se que
e
em particular,
e
4. Leis dos Radicais
Para todos os naturais não nulos e e todos os reais não nulos e valem as seguintes fórmulas
(I) 
(II) 
(III) 
(IV) 
(V) 
Em palavras estas cinco Leis podem ser enunciadas da seguinte maneira:
(I) Para multiplicar raízes de mesmo índice, multiplicamos os radicandos.
(II) Para dividir raízes de mesmo índice, dividimos os radicandos.
(III) Para elevar um radical a uma potência, eleva-se o radicando a esta potência.
(IV) Para extrair a raiz de um radical, multiplica-se os índices dos radicais.
(V) Um radical não se altera quando multiplicaremos o seu índice e o expoente do radical por um mesmo natural diferente de zero.
5. Resolução da equação10
10
x
=
oleObject460.bin
image416.wmf
3
2
y
=
oleObject461.bin
image417.wmf
15
35
z
=
oleObject462.bin
image418.wmf
z
y
x
>
>
oleObject463.bin
image419.wmf
y
z
x
>
>
oleObject464.bin
image42.wmf
b
n
n
aa
;b0
bb
æö
=¹
ç÷
èø
image420.wmf
x
y
z
>
>
oleObject465.bin
image421.wmf
y
x
z
>
>
oleObject466.bin
image422.wmf
z
x
y
>
>
oleObject467.bin
image423.wmf
2
a
4
25
oleObject468.bin
image424.wmf
a
2
25
oleObject469.bin
image2.wmf
n
nfatores
aaaaa
=´´´´
L
1442443
oleObject42.bin
image425.wmf
a
2
25
oleObject470.bin
image426.wmf
2
a
2
25
oleObject471.bin
image427.wmf
a
2
5
oleObject472.bin
image428.wmf
2
a
2
5
oleObject473.bin
image429.wmf
4
a
36
49
oleObject474.bin
image43.wmf
(
)
1
1
n
2
=
-
image430.wmf
2
a
18
7
oleObject475.bin
image431.wmf
4
a
18
7
oleObject476.bin
image432.wmf
2
a
18
49
oleObject477.bin
image433.wmf
4
a
18
49
oleObject478.bin
image434.wmf
2
a
36
49
oleObject479.bin
oleObject43.bin
image435.wmf
2
2
oleObject480.bin
image436.wmf
(
)
2
2
oleObject481.bin
image437.wmf
2
4
oleObject482.bin
image438.wmf
(
)
8
2
oleObject483.bin
image439.wmf
8
oleObject484.bin
image44.wmf
(
)
(
)
1
n
1
n
1
1
+
-
-
=
-
oleObject485.bin
oleObject486.bin
oleObject487.bin
oleObject488.bin
oleObject489.bin
oleObject490.bin
image440.wmf
zeros
oleObject491.bin
oleObject492.bin
oleObject493.bin
oleObject44.bin
oleObject494.bin
oleObject495.bin
image441.wmf
ímpar
oleObject496.bin
image442.wmf
3
4
oleObject497.bin
image443.wmf
4
8
oleObject498.bin
image444.wmf
7
12
oleObject499.bin
image45.wmf
n
n
)
1
(
)
1
(
2
-
=
-
image445.wmf
7
12
2
oleObject500.bin
image446.wmf
7
32
oleObject501.bin
image447.wmf
12
32
oleObject502.bin
image448.wmf
12
32
2
oleObject503.bin
image449.wmf
20
11
5
4
4
3
5
5
.
5
oleObject504.bin
oleObject45.bin
oleObject505.bin
image450.wmf
4
5
oleObject506.bin
image451.wmf
5
5
oleObject507.bin
image452.wmf
20
5
oleObject508.bin
oleObject509.bin
image453.wmf
12
11
4
3
3
2
a
a
a
a
a
=
×
×
oleObject510.bin
image46.wmf
(
)
(
)
n
2
1
n
2
1
1
-
-
=
-
-
image454.wmf
5
2
23
13
5
9
8
2
b
a
b
a
b
a
×
=
×
oleObject511.bin
image455.wmf
70
47
7
5
2
2
16
8
2
=
×
×
oleObject512.bin
image456.wmf
10
9
5
5
8
32
25
10
=
×
×
oleObject513.bin
image457.wmf
FALSAS
oleObject514.bin
oleObject515.bin
oleObject516.bin
oleObject46.bin
oleObject517.bin
oleObject518.bin
oleObject519.bin
image458.wmf
única
oleObject520.bin
image459.wmf
4
1
1
a
a
a
a
=
-
-
oleObject521.bin
image460.wmf
9
3
3
2
2
b
b
b
b
=
-
-
oleObject522.bin
image461.wmf
16
4
4
3
3
c
c
c
c
=
-
-
image47.wmf
(
)
(
)
n
2
n
3
1
1
-
-
=
-
oleObject523.bin
image462.wmf
8
3
4
3
x
x
x
x
=
oleObject524.bin
image463.wmf
5
5
3
2
a
a
a
=
oleObject525.bin
image464.wmf
(
)
(
)
2
8
128
32
8
2
E
3
4
8
3
8
4
3
4
4
3
×
×
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
oleObject526.bin
image465.wmf
4
8
oleObject527.bin
image466.wmf
4
2xn = a, com a real e n natural maior que 1.
	A raiz n-ésima do número real pode ser definida como toda solução da equação . A discussão desta equação pode ser resumida da seguinte maneira:
(I) Se e é a equação possui duas soluções representadas por e , enquanto que se for a equação possui uma única solução representada por 
(II) Se e for a equação não possui solução real enquanto que se for a equação possui uma única solução que convém escrevermos 
(III) Se , a equação possui uma única solução para todo n.
6. Observações Importantes
(I) Quando e é , a notação representa também a raiz n-ésima positiva de (a negativa é representada por ). Em particular,
 Assim, 
(II) Quando e for as leis das raízes podem ser aplicadas para (ou ) mas não para . Assim, por exemplo para reduzimos a um radical de índice devemos fazer
e não
7. Potência de expoente racional
Para dar significado as potências de expoentes fracionárias precisamos do uso de radicais. A razão para isto, é que precisamos definir de modo que ela seja consistente com as Leis dos expoentes isto é, devemos ter:
Portanto definiremos, 
Observemos que se n é par é necessário que .
Finalmente, definiremos a potência para todo expoente racional irredutível onde e são inteiros e 
Se existe como um número real (e este será o caso para todo número real se for e para se for ), definimos
ou equivalentemente
Com esta definição, as leis dos expoentes são ainda verdadeiras para expoentes racionais, exceto quando m e n forem reais estritamente positivos. Assim, não podemos escrever
 pois enquanto que não faz sentido!
8. Exercícios de fixação
1. O número é igual a :
(A) 		(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
2. O valor de é igual a :
(A) 	
(B) 
(C) 
(D) 		
(E) 
3. A raiz sétima de é igual a :
(A) 		(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
4. Assinale o menor dos números :
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
5. Colocando-se os números , e em ordem decrescente obtem-se:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
6. O valor de é igual a :
(A) 	(B) 	(C)
(D) 	(E) 
7. O valor de é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
8. Dentre os números , , , e a quantidade de números distintos é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 	
(D) 		(E) 
9. O número termina com uma grande quantidade de . O primeiro algarismo não nulo da direita para a esquerda é :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
10. O produto de por é igual a:
(A) 		(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
11. O valor de é:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
12. Considere as afirmativas :
(I) 
(II) 
(III) 
(IV) 
O número de afirmativas é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
13. Assinale a igualdade errada:
(A) 	
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
14. Simplificando-se a expressão abaixo, obtemos :
(A) 
	(B) 		(C) 	
(D) 	(E) 
15. Simplificando-se a expressão 
obtemos :
(A) 
	(B) 	(C) 
(B) 
 (D) 	(E) 		
16. Se , e então é igual a:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
17. O valor de é igual a:
(A) 
		(B) 	(C)
(D) 	(E) 
18. O valor de é:
(A) 		(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
19. O valor de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
20. O valor de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
21. Se e são números positivos tais que e então o valor de é igual a :
(A) 
		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
22. Subtraindo de , a diferença satisfaz a:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 		(E) 
23. Sabendo que e então é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
24. Sendo e os números:
e 
 
O valor do produto é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
Capítulo3
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. Definição
Chamamos de a certos desenvolvimentos algébricos que por aparecerem tão freqüentemente é muito mais fácil memorizá-los do que efetuá-los a cada vez. Além disso, decorar simplifica a vida e é, pelos menos metade do compreender. Portanto, não tenha receio pois, decorar não ocupa lugar no cérebro!
Os principais produtos notáveis são:
(I) Quadrado de uma soma
(II) Quadrado de uma diferença 
(III) Produto da soma pela diferença
(IV) Cubo de uma soma
(V) Cubo de uma diferença
2. Observações 
(i) As fórmulas dos quadrados e cubos de somas podem ser utilizadas para generalizações como:
ou sob a forma condensada,
(ii) Com os desenvolvimentos de e 
Podemos facilmente obter
E assim sucessivamente onde os coeficientes são dados pela “tabela” seguinte:
6. Exercícios de fixação
1. A quarta potência de é:
(A) 		
(B) 		
(C) 	
(D) 	 		
(E) 
2. Se o valor de é:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
3. Se é um quadrado perfeito, o quadrado perfeito imediatamente superior a é dado por :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 	
4. O natural para o qual 
é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
5. O valor de
 é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
6. O valor de
é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
7. Se o número de na representação decimal de é :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
8. Se então é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
9. Se , então é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
10. Sabendo que , o valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
11. Sabendo que onde , o valor de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
12. Se e , o valor da fração é:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
13. O desenvolvimento de 
é igual a:
(A) 	
(B) 	
(C) 
(D) 	
(E) 
14. O produto 
é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
15. O número é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
16. O valor de é:
(A) 		(B) 		(C) 	
(D) 		(E) 
17. O número é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
18. Se , onde é um número inteiro, então o valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
19. O valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
20. Se os números reais , , e satisfazem às equações , , e , o valor de é: 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
21. Sabendo que e , o valor de é igual a :
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
22. Sejam e números reais tais que e . O valor de é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
23. Determine o menor inteiro tal que 
para os números reais , e 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
24. Sejam e . O algarismo, contado da direita para a esquerda, do produto é:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
25. Quantos existem na representação decimal de ?
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
26. A soma dos algarismos de
 é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 	
(D) 		(E) 
27. No sistema de numeração decimal, o inteiro consiste de e o número consiste de . A soma dos dígitos de é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
28. A soma de todos os valores de para os quais é um quadrado perfeito é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
29. Entre os dígitos e são inseridos vários e após eles o mesmo número de são também inseridos. Sobre o número resultante podemos afirmar que :
(A) pode ser um número primo 
(B) algumas vezes é um quadrado perfeito outras vezes não.
(C) é sempre um quadrado perfeito
(D) não pode ser um cubo perfeito
(E) depende da quantidade de e 
30. Se então é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
31. Determinando o valor de
 obtemos :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
32. Sejam
 e 
o valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
33. Se é escrito sob a forma onde , e são números racionais, o valor da soma é igual a : 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 			(E) 
34. A soma dos algarismos do inteiro para o qual
é também inteiro é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
35. Sejam , e números reais tais que
,
 e . O valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
36. Os inteiros positivos e tais que são tais que é igual a :
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
Capítulo4FATORAÇÃO
1. Definição
Fatorar uma expressão algébrica é coloca-la sob a forma de um produto de fatores, cada um deles, do menor grau possível. Dentre os casos usuais de fatoração destacam-se os seguintes
(I) Evidenciação ou fator comum
(II) Agrupamento 
(III) Trinômios quadrados perfeitos
 e 
(IV) Diferença de dois quadrados
(V) Soma de cubos
(VI) Diferença de cubos
4. Outras fatorações importantes não triviais
(I) Para todo natural tem-se que:
Se for um natural podemos substituir por na forma acima, obtemos uma outra para a fatoração da soma de duas n-ésimas potências:
(II) 
(III) Identidade de Sophie Germain
(IV) Identidade de Lagrange
Esta identidade mostra que se dois números são somas de dois quadrados seu produto também é uma soma de dois quadrados.
5. Observação 
Não existe um método geral que conduza sistematicamente a fatoração de uma expressão algébrica uma vez que a fatoração pode ser até impossível entretanto, é aconselhável seguir os procedimentos básicos listados abaixo:
	Colocar em primeiro lugar em evidencia os 	fatores que puderem ser colocados.
	Verificar se é possível aplicar um dos produtos 	notáveis.
	Fazer os agrupamentos dos termos de modo que 	na fatoração de cada dois apareça um fator 	comum
 
	Considere conhecido o seguinte teorema:
	“Se um polinômio se anula para então 	ele contém o fator ”
6. Exercícios de fixação
1. Fatore as expressões:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
A seguir numere a coluna abaixo de acordo com as fatorações obtidas:
(	) 
(	) 
(	) 
(	) 
(	) 
A ordem obtida de cima para baixo é :
(A) 		
(B) 		
(C) 	
(D) 		
(E) 
2. Fatore as expressões:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
A seguir numere a coluna abaixo de acordo com as fatorações obtidas:
(	) 
(	) 
(	) 
(	) 
(	) 
A ordem obtida de cima para baixo é :
(A) 		
(B) 		
(C) 	
(D) 		
(E) 
3. Fatore as expressões:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
A seguir numere a coluna abaixo de acordo com as fatorações obtidas:
(	) 
(	) 
(	)
(	) 
(	) 
A ordem obtida de cima para baixo é :
(A) 		
(B) 		
(C) 	
(D) 		
(E) 
4. A soma dos algarismos da raiz quadrada dos número da forma
é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
5. Seja onde e são inteiros consecutivos e . Então sobre a raiz quadrada de podemos afirmar que :
(A) É sempre um inteiro par.
(B) Algumas vezes é um inteiro ímpar, outras vezes não.
(C) Algumas vezes é racional, outras vezes não.
(D) É sempre um inteiro ímpar.
(E) É sempre irracional.
6. A raiz quadrada de é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
7. O valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
8. A fração
é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
9. Mostre que a afirmativa:
“O produto de quatro inteiros consecutivos aumentado de uma unidade é um quadrado perfeito” é VERDADEIRA e, a seguir utilize-a para determinar que o valor de é igual a:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
10. A soma dos algarismos da raiz quadrada de
é igual a : 
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
11. O valor de é:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
12. O número 
é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
13. Seja 
O valor de é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
14. O valor de é:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
15. Se e , o valor de é igual a:
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
16. Se e então é igual a:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
17. O valor do número natural para o qual 
é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
18. O valor mínimo de , para é igual a : 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
19. O maior inteiro menor ou igual a é:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
20. Se e são números reais tais que e então o valor de é igual a :
(A) 	(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
21. Sejam e números reais tais que . Se onde p e q são primos entre si, o valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
22. Se e são números reais tais que 
o valor de é igual a:
(A) 	
(B) 	
(C) 
(D) 	
(E) 
23. Simplificando a expressão para , temos 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
24. Se e com , a expressão quando simplificada se torna igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
25. Simplificando 
obtemos :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) (E) 
26. Simplificando 
 
onde , obtemos :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 	(E) 
27. Se , simplificando 
obtemos : 
Sugestão : calcule e 
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
28. Sejam e números inteiros positivos tais que 
então, o valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
29. Seja o número triangular. O valor do número
é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
30. A soma dos algarismos de 
é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
31. Se é um então o valor de é :
(A) primo		
(B) divisor de 		
(C) múltiplo de 
(D) múltiplo de 		
(E) ímpar
32. O número de pares ordenados de números inteiros para os quais e é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
33. O valor de é:
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
34. A expressão é igual a:
(A) 	
(B) 	
(C)	
(D) 		
(E) 
35. Se , e são três reais tais que então o valor de 
é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
36. A soma dos algarismos da raiz quadrada do número composto de e é igual a :
(A) 	(B) 	(C) 
(D) 	(E) 
37
sob a forma da fração irredutível , o valor de é igual a :
(A) 		(B) 		(C) 
(D) 		(E) 
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,
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,
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n
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+
-
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image578.wmf
n
n
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4
-
+
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image579.wmf
23
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image580.wmf
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ø
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æ
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image581.wmf
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x
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x
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image582.wmf
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r
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=
÷
ø
ö
ç
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æ
+
image61.wmf
b
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Ä
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image583.wmf
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r
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r
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image584.wmf
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L
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+
+
+
+
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n
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+
+
+
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(
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(
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Ä
Ä
Ä
Ä
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+
+
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image601.wmf
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+
+
+
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y
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ax
+
+
+
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b
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+
+
+
+
+
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)
(
)
(
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(
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7
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+
-
+
-
-
+
+
+
=
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+
+
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n
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n
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-
+
+
+
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image631.wmf
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image632.wmf
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image633.wmf
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5
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image635.wmf
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image647.wmf
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image648.wmf
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image649.wmf
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x
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6
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6
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6
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+
+
+
+
+
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image650.wmf
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image654.wmf
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image656.wmf
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(
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2
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x
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z
y
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+
£
+
+
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image657.wmf
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image658.wmf
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image659.wmf
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image664.wmf
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s
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image672.wmf
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200620042000199836
×××+
image72.wmf
6
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image681.wmf
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image682.wmf
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image5.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
6
6fatores
55556561
-=-´-´´-=
L
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image683.wmf
oitos
 
1985
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image684.wmf
cincos
 
1985
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image685.wmf
ab
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image686.wmf
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image73.wmf
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image688.wmf
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image690.wmf
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image691.wmf
x
x
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+
image692.wmf
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image693.wmf
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image694.wmf
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image695.wmf
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image74.wmf
36
36
image696.wmf
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image697.wmf
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image698.wmf
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image699.wmf
s
'
4
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image700.wmf
s
'
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image701.wmf
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x
y
y
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x
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2
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+
+
+
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image702.wmf
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y
x
+
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image703.wmf
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image704.wmf
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image75.wmf
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image706.wmf
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a
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image707.wmf
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-
-
-
-
-
+
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image708.wmf
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image709.wmf
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image710.wmf
(
)
(
)
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3
2
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2
x
2003
2003
-
+
+
=
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image711.wmf
(
)
(
)
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y
2003
2003
-
-
+
=
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image712.wmf
2
2
y
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x
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-
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image76.wmf
b
45
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image713.wmf
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image714.wmf
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3
3
c
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+
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image715.wmf
c
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image716.wmf
c
b
a
+
+
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image717.wmf
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image718.wmf
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image77.wmf
c
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image719.wmf
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image720.wmf
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image721.wmf
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image722.wmf
n
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n
4
625
2
25
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-
+
-
+
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oleObject871.bin
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image723.wmf
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image724.wmf
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c
b
a
=
+
+
oleObject878.bin
image725.wmf
9
c
b
a
2
2
2
=
+
+
image78.wmf
d
67
=
oleObject879.bin
image726.wmf
24
c
b
a
3
3
3
=
+
+
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image727.wmf
4
4
4
c
b
a
+
+
oleObject881.bin
image728.wmf
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oleObject882.bin
image729.wmf
63
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image730.wmf
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oleObject884.bin
image731.wmf
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oleObject885.bin
image732.wmf
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oleObject886.bin
oleObject887.bin
oleObject888.bin
image733.wmf
(
)
3
2
3
3
6
20
49
1
b
a
+
=
-
+
oleObject889.bin
image734.wmf
b
a
-
image79.wmf
e
78
=
oleObject890.bin
image735.wmf
200
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image736.wmf
220
oleObject892.bin
image737.wmf
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image738.wmf
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image739.wmf
(
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+=+
oleObject896.bin
image740.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
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+++=+++=++
oleObject897.bin
image741.wmf
(
)
2
22
a2abbab
++=+
oleObject898.bin
image742.wmf
(
)
2
22
a2abbab
-+=-
oleObject899.bin
image743.wmf
(
)
(
)
22
ababab
-=+-
oleObject900.bin
image80.wmf
f
89
=
image744.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3322
abab3abababaabb
+=+-+=+-+
oleObject901.bin
image745.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3322
abab3abababaabb
-=---=-++
oleObject902.bin
image746.wmf
n
oleObject903.bin
image747.wmf
(
)
(
)
nnn1n2n2n1
ababaababb
----
-=-++++
L
oleObject904.bin
oleObject905.bin
image748.wmf
ímpar
oleObject80.bin
oleObject906.bin
image749.wmf
b
oleObject907.bin
image750.wmf
(
)
b
-
oleObject908.bin
image751.wmf
(
)
(
)
nnn1n2n2n1
ababaababb
----
+=+-+-+
L
oleObject909.bin
image752.wmf
(
)
(
)
333222
abc3abcabcabcabacbc
++-=++++---
oleObject910.bin
image753.wmf
(
)
(
)
442222
a4ba2b2aba2b2ab
+=+++-
image81.wmf
abcdef
oleObject911.bin
image754.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2222
acbdadbcabcd
+±=++
m
oleObject912.bin
image755.wmf
·
oleObject913.bin
image756.wmf
·
oleObject914.bin
image757.wmf
·
oleObject915.bin
image758.wmf
·
oleObject81.bin
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image759.wmf
(
)
Px
oleObject917.bin
image760.wmf
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(
)
x-a
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image762.wmf
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2
2
2
2
2
3
bx
a
x
ab
x
b
a
x
ab
-
+
-
oleObject920.bin
image763.wmf
6
2
2
5
2
bx
a
9
x
b
a
9
-
image82.wmf
1
oleObject921.bin
image764.wmf
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3
2
3
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2
3
x
b
a
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x
b
a
40
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ab
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+
+
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+
+
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-
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+
+
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+
+
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+
+
-
+
+
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+
+
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n
s
 
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×
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×
×
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+
+
+
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,
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,
6
 
,
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,
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,
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¡
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84
oleObject157.bin
image149.wmf
777
777
m
×
×
×
=
oleObject158.bin
image150.wmf
99
oleObject159.bin
image151.wmf
7
oleObject160.bin
image152.wmf
999
999
n
×
×
×
=
oleObject161.bin
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image153.wmf
77
oleObject162.bin
image154.wmf
9
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image155.wmf
n
m
×
oleObject164.bin
oleObject165.bin
image156.wmf
2
oleObject166.bin
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3
image14.wmf
1
aa
=
oleObject167.bin
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5
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image159.wmf
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.
325
.
789
.
456
.
893
.
659
.
3
oleObject170.bin
image160.wmf
256
.
379
.
489
.
973
.
342
oleObject171.bin
image161.wmf
P
oleObject172.bin
oleObject14.bin
image162.wmf
36
oleObject173.bin
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image164.wmf
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–n
a
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n
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image168.wmf
n
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
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2
2
6
6
6
6
6
6
3
3
3
4
4
4
4
=
+
+
+
+
+
+
×
+
+
+
+
+
oleObject179.bin
image169.wmf
10
oleObject180.bin
image170.wmf
12
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image171.wmf
14
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image172.wmf
16
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image173.wmf
18
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image174.wmf
(
)
302
33
33
33
33
33
2
,
7
0
5
12
3
2
1
8
8
8
8
8
1
331
,
1
´
+
+
+
+
-
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
-
oleObject185.bin
oleObject186.bin
oleObject187.bin
oleObject188.bin
oleObject189.bin
image16.wmf
n
–n
n
11
a
aa
æö
==
ç÷
èø
image175.wmf
0
oleObject190.bin
image176.wmf
4
3
2
)
12
.
000
.
000
,
0
(
)
000
.
000
.
100
.
8
.(
)
4
.
000
.
000
.
000
,
0
(
N
=
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image177.wmf
000
.
50
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image178.wmf
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.
25
oleObject193.bin
image179.wmf
000
.
5
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image180.wmf
000
.
1
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oleObject196.bin
image181.wmf
b
a
.
)
b
a
.(
b
a
)
ab
.(
)
b
a
.(
ab
E
1
3
1
2
2
2
1
4
2
1
2
-
-
-
-
-
-
=
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image182.wmf
a
=
-
10
3
image183.wmf
b
=
-
-
10
2
image184.wmf
100
-
image17.wmf
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20061
=
oleObject200.bin
image185.wmf
10
-
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oleObject202.bin
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image186.wmf
100
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image187.wmf
(
)
(
)
2
4
19
20
8
13
52
2
7
2
3
×
×
×
+
×
oleObject205.bin
oleObject206.bin
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image188.wmf
2
1
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image189.wmf
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image190.wmf
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image191.wmf
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image192.wmf
(
)
(
)
(
)
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16
12
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10
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2
300
18
12
6
´
×
×
×
´
´
´
´
´
´
×
×
×
´
´
´
´
´
×
×
×
´
´
´
oleObject211.bin
image18.wmf
(
)
1
77
-=-
image193.wmf
50
3
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image194.wmf
2
3
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image195.wmf
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2
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
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image196.wmf
4
3
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image197.wmf
25
2
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image198.wmf
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image199.wmf
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image200.wmf
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a
>
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image201.wmf
0
b
¹
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image202.wmf
b
aba
=
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image19.wmf
1
1
11
(2)
(2)2
-
-==-
-
image203.wmf
3
b
a
a
b
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image204.wmf
a
b
-
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image207.wmf
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image208.wmf
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image211.wmf
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image212.wmf
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image20.wmf
(
)
(
)
2
2
11
1
7744
88
1
1
7744
88
-
===
image213.wmf
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16
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image214.wmf
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image215.wmf
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image216.wmf
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image217.wmf
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image218.wmf
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image219.wmf
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image220.wmf
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image221.wmf
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image222.wmf
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oleObject241.bin
image21.wmf
(
)
(
)
33
216
56
65125
-
==
image223.wmf
24
7
s
=
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image224.wmf
q
p
r
s
>
>
>
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image225.wmf
s
p
r
q
>
>
>
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image226.wmf
q
r
p
s
>
>
>
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image227.wmf
s
r
p
q
>
>
>
oleObject246.bin
oleObject21.bin
image228.wmf
q
p
s
r
>
>
>
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image229.wmf
60
3
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image230.wmf
48
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=
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image231.wmf
36
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image232.wmf
24
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image22.wmf
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image233.wmf
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e
=
oleObject252.bin
image234.wmf
e
d
c
b
a
5
1999
2001
×
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oleObject276.bin
oleObject277.bin
oleObject278.bin
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image256.wmf
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600
300
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5
2
×
×
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image257.wmf
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image258.wmf
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image259.wmf
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image260.wmf
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image25.wmf
n
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image261.wmf
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image262.wmf
7
5
6
55
28
15
´
´
oleObject286.bin
image263.wmf
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oleObject287.bin
image264.wmf
18
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image265.wmf
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image266.wmf
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image267.wmf
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image268.wmf
(
)
2002
2002
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oleObject293.bin
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image269.wmf
8
image26.wmf
(
)
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-
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image270.wmf
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image271.wmf
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image272.wmf
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a
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image273.wmf
m
oleObject26.bin
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image274.wmf
n
m
+
oleObject302.bin
image275.wmf
NÃO
oleObject303.bin
image276.wmf
2002
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image277.wmf
2003
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image278.wmf
2004
image27.wmf
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+
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image279.wmf
2005
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image280.wmf
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image286.wmf
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oleObject314.bin
image287.wmf
4014
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image288.wmf
5
5
5
5
5
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110
84
27
144
+
+
+
=
image28.wmf
(1)
-
oleObject316.bin
image289.wmf
7
7
7
7
133
110
84
27
+
+
+
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image290.wmf
1
144
7
-
oleObject318.bin
oleObject319.bin
image291.wmf
7
144
oleObject320.bin
image292.wmf
1
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7
+
oleObject321.bin
oleObject28.bin
oleObject322.bin
image293.wmf
2004
2
oleObject323.bin
image294.wmf
604
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image295.wmf
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image296.wmf
{
}
0122003
S2,2,2,...,2
=
oleObject326.bin
image297.wmf
4
image29.wmf
n
1senépar
(1)
1senéímpar
+
ì
-=
í
-
î
oleObject327.bin
image298.wmf
194
oleObject328.bin
image299.wmf
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oleObject329.bin
image300.wmf
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image301.wmf
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oleObject331.bin
image302.wmf
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image303.wmf
b
oleObject333.bin
image304.wmf
n
oleObject334.bin
image305.wmf
n
oleObject335.bin
image306.wmf
a
oleObject336.bin
image307.wmf
n
n
abba
=Û=
image30.wmf
4
3
-
oleObject337.bin
image308.wmf
n
oleObject338.bin
image309.wmf
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³
oleObject339.bin
image310.wmf
b0.
³
oleObject340.bin
image311.wmf
n2
=
oleObject341.bin
image312.wmf
a
oleObject30.bin
oleObject342.bin
image313.wmf
2
a
oleObject343.bin
image314.wmf
n3
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oleObject344.bin
image315.wmf
3
a
oleObject345.bin
image316.wmf
a
oleObject346.bin
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image31.wmf
(
)
4
3
-
image317.wmf
n
a
oleObject348.bin
image318.wmf
n
oleObject349.bin
image319.wmf
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=
oleObject350.bin
image320.wmf
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oleObject351.bin
image321.wmf
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-=-
oleObject352.bin
oleObject31.bin
image322.wmf
(
)
3
5125
-=-
oleObject353.bin
image323.wmf
46
8,8e8
---
oleObject354.bin
image324.wmf
a
oleObject355.bin
image325.wmf
(
)
n
n
aa
=
oleObject356.bin
image326.wmf
(
)
3
3
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=
oleObject357.bin
image32.wmf
4
3
-
image327.wmf
n
oleObject358.bin
image328.wmf
n
00
=
oleObject359.bin
image329.wmf
n
11
=
oleObject360.bin
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image330.wmf
nn
abab
=Û=
oleObject362.bin
image331.wmf
nn
abab
oleObject32.bin
oleObject363.bin
image332.wmf
n
a1aa1
Û
oleObject377.bin
image344.wmf
n
oleObject378.bin
image345.wmf
par
image34.wmf
mnmn
aaa
+
´=
oleObject379.bin
oleObject380.bin
image346.wmf
n
xa
=
oleObject381.bin
image347.wmf
n
xa
=-
oleObject382.bin
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image348.wmf
ímpar
oleObject384.bin
image349.wmf
n
xa
=
oleObject34.bin
oleObject385.bin
image350.wmf
oleObject386.bin
image351.wmf
a0
¹
image352.wmf
n
xa
=-
oleObject393.bin
image353.wmf
n
xa
=
oleObject394.bin
image354.wmf
a0
=
oleObject395.bin
image355.wmf
x0
=
oleObject396.bin
image356.wmf
n
oleObject397.bin
oleObject35.bin
image357.wmf
a0
>
oleObject398.bin
oleObject399.bin
oleObject400.bin
image358.wmf
n
a
oleObject401.bin
image359.wmf
a
oleObject402.bin
image360.wmf
n
a
-
oleObject403.bin
image36.wmf
(
)
(
)
nm
mn
mn
aaa
´
==
image361.wmf
2k
2k
asea0
aa
asea0
³
ì
==
í
-£
î
oleObject404.bin
image362.wmf
2
aa
=
oleObject405.bin
image363.wmf
a0
oleObject424.bin
image38.wmf
(
)
p
n
a
image380.wmf
n
a
oleObject425.bin
image381.wmf
a
oleObject426.bin
image382.wmf
n
oleObject427.bin
image383.wmf
ímpar
oleObject428.bin
image384.wmf
a0
³
oleObject429.bin
oleObject38.bin
image385.wmf
n
oleObject430.bin
image386.wmf
par
oleObject431.bin
image387.wmf
m
m
n
n
a(a)
=
oleObject432.bin
image388.wmf
m
m
n
n
aa
=
oleObject433.bin
image389.wmf
1
2
2
4
(4)(4)
-=-
oleObject434.bin
image39.wmf
pfatores
p
nnnn
n
aa
´´´´
=
6447448
L
image390.wmf
2
2
4
4
4
(4)(4)16
-=-=
oleObject435.bin
image391.wmf
1
2
(4)
-
oleObject436.bin
image392.wmf
12
12
oleObject437.bin
image393.wmf
6
6
oleObject438.bin
image394.wmf
(
)
12
3
2
oleObject439.bin
oleObject39.bin
image395.wmf
12
6
oleObject440.bin
image396.wmf
3
2
12
oleObject441.bin
image397.wmf
(
)
6
3
2
oleObject442.bin
image398.wmf
2000
2000
oleObject443.bin
image399.wmf
1000
1000
oleObject444.bin
image40.wmf
(
)
p
np
n
aa
´
=
image400.wmf
2000
1000
oleObject445.bin
image401.wmf
(
)
2000
5
20
oleObject446.bin
image402.wmf
(
)
5
20
2000
oleObject447.bin
image403.wmf
500
2000
oleObject448.bin
image404.wmf
(
)
7
7
7
oleObject449.bin
oleObject40.bin
image405.wmf
7
7
oleObject450.bin
image406.wmf
(
)
1
7
7
7
-
oleObject451.bin
image407.wmf
(
)
7
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7
oleObject452.bin
image408.wmf
(
)
6
7
7
oleObject453.bin
image409.wmf
(
)
7
7
oleObject454.bin
image41.wmf
nnn
ab(ab)
´=´
image410.wmf
30
30
image411.wmf
2
6
image412.wmf
3
10
image413.wmf
4
12
image414.wmf
5
15
oleObject41.bin
image415.wmf