Vamos analisar cada uma das afirmativas para determinar qual delas não é verdadeira para todo natural \( n \): (A) \((-1)^{2n} = 1\) Essa afirmativa é verdadeira, pois qualquer número elevado a um expoente par resulta em 1. (B) \((-1)^{n-1} = (-1)^{n+1}\) Essa afirmativa é verdadeira, pois \((-1)^{n-1}\) e \((-1)^{n+1}\) são iguais, já que a diferença entre os expoentes é 2, que é par. (C) \((-1)^{n^2} = (-1)^{n}\) Essa afirmativa é verdadeira, pois \(n^2\) é par quando \(n\) é par e ímpar quando \(n\) é ímpar, então ambos os lados são iguais. (D) \((-1)^{2n-1} = -(-1)^{2n}\) Essa afirmativa é verdadeira, pois \((-1)^{2n}\) é 1, então \(-(-1)^{2n} = -1\), e \((-1)^{2n-1}\) também é -1. (E) \((-1)^{3n} = -(-1)^{2n}\) Essa afirmativa não é verdadeira para todo natural \( n \). Quando \( n \) é par, \((-1)^{3n} = 1\) e \(-(-1)^{2n} = -1\), o que não é igual. Portanto, a afirmativa que não é verdadeira para todo natural \( n \) é a opção E.