Exercicios_CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
• Matemática Financeira I - Introdução
• Matemática Financeira II - Juros simples I
• Matemática Financeira III - Juros simples II
• Matemática Financeira IV - Juros compostos
• Matemática Financeira V - Noção elementar de inflação e saldo médio bancário
• Matemática Financeira VI - Um primeiro contato com a calculadora financeira HP 12C
• Matemática Financeira VII - Valor presente e Valor futuro
• Matemática Financeira VIII - Descontos simples
• Matemática Financeira IX - Diagramas de fluxo de caixa
• Matemática Financeira X - Fórmulas básicas do Cálculo Financeiro
• Matemática Financeira XI - Problemas resolvidos I
• Matemática Financeira XII - Problemas resolvidos II
• Matemática Financeira XIII - Taxas equivalentes
• Matemática Financeira XIV - Taxa nominal e taxa real de juros
• Matemática Financeira XV - Série de pagamentos I - FAC
• Matemática Financeira XVI - Série de pagamentos II - FFC
• Matemática Financeira XVII - Série de pagamentos III - FVA
• Matemática Financeira XVIII - Série de pagamentos IV - FRC
• Matemática Financeira XIX - Um problema simples
• Matemática Financeira XX - Triplicando o seu dinheiro
• Matemática Financeira XXI - A taxa SELIC - 
• Mat. Fin XXII – Valor presente e líquido - 
• Mat Fin XXIII – Rumo ao hexa em 2010 e outros investimentos. 
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	Noções de Matemática Financeira I
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Introdução
De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira pois, busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o tempo.
Devemos entender como Juros, a remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito.
A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
1 - inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.
2 - risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.
3 – aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro! Ah ah ah ah ...
Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo. 
Assim por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de R$2000,00 (Principal = P) forem R$200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual ( i ) será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: 
i = 10% a.a.
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (veremos em outro artigo, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função exponencial)
	Noções de Matemática Financeira II
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Juros Simples
O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos.
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:
J = P . i . n = Pin
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual a i.
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos: 
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Portanto, M = P(1+in).
Exemplo:
A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. 
Solução: 
Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos: 
Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. 
(Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?).
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n, são grandezas diretamente proporcionais. Daí, infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.
Exercício proposto: 
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: $46000,00
	Noções de Matemática Financeira III
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Vimos no artigo anterior, que se o capital P for aplicado por n períodos, a uma taxa de juros simples i, ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.
Assim, por exemplo se num problema, a taxa de juros for 
i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos coloca-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.
Exemplos:
E01 – Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos?
SOLUÇÃO: 
Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo.
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses):
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10
n = 5 anos = 5.6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres)
Então: J = $12000.0,10.30 = $36000,00
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses.
Teríamos:
i = 10% a.b. = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
n = 5 anos = 5.12 = 60 meses
Então: J = $12000,00.0,05.60 = $36000,00
E02 – Certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
SOLUÇÃO:
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando 
M = 2P. Logo, vem:
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,05n  1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.
Exercício proposto:
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?
Resp: 20 anos.
	Noções de Matemática Financeira IV
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JUROS COMPOSTOS
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capitalatravés juros simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido".
Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
.....................................................................................................
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente:
S = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n: 
S = P (1 + i)n
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.
Exercícios Resolvidos:
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.
Solução:
Temos S = P(1+i)n
Logo, S/P = (1+i)n
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:
n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:
Temos também da expressão acima que:
n.log(1 + i) = logS – logP
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução:
Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:
2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica: 
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então:
n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que eqüivale a 2 anos e 11 meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses.
Exercícios propostos:
1 – Um capital de $200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.
Resposta: $292820,00
2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?
Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.
Observe que 
9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). 
Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.
	Noção elementar de Inflação e Saldo médio bancário 
Outro conceito importante no estudo da Matemática Financeira é o de inflação. 
Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o aumento médio de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um índice expresso como uma taxa percentual relativa a este mesmo período.
Para ilustrar de uma forma simples, o conceito elementar de inflação apresentado acima, vamos considerar a tabela abaixo, onde está indicado o consumo médio mensal de uma determinada família em dois meses distintos e os custos decorrentes associados:
	******************************
	Mês 01
	Mês 02
	Produto
	Quantidade
	Preço ($)
	Subtotal
	Preço ($)
	Subtotal
	Arroz
	5 kg
	1,20
	6,00
	1,30
	6,50
	Carne
	15 kg
	4,50
	67,50
	4,80
	72,00
	Feijão
	4 kg
	1,69
	6,76
	1,80
	7,20
	Óleo
	2 latas
	2,40
	4,80
	2,45
	4,90
	Leite
	20 litros
	1,00
	20,00
	1,10
	22,00
	Café
	1 kg
	7,60
	7,60
	8,00
	8,00
	Açúcar
	10 kg
	0,50
	5,00
	0,65
	6,50
	Passagens
	120
	0,65
	78,00
	0,75
	90,00
	TOTAL
	**************
	195,66
	**************
	217,10
A variação percentual do preço total desta cesta de produtos, no período considerado é igual a:
V = [(217,10 / 195,66) - 1] x 100 = 0,1096 = 10,96 %
Diremos então que a inflação no período foi igual a 10,96 %.
NOTAS:
1 - Para o cálculo de índices reais de inflação, o número de itens considerado é bastante superior e são obtidos através de levantamento de dados em determinadas amostras da população, para se determinar através de métodos estatísticos, a "cesta de mercado", que subsidiará os cálculos.
2 - A metodologia sugerida no exemplo acima é conhecida como método de Laspeyres (pronuncia-se Laspér).
3 - Podemos entender agora os motivos que determinam as diferenças entre os índices de inflação calculados entre instituições distintas tais como FIPE, FGV, DIEESE, entre outras.
Juros e saldo médio em contas correntes
Vamos considerar o caso de uma conta corrente, da qual o cliente saca e deposita recursos ao longo do tempo. Vamos ver nesta seção, a metodologia de cálculo do saldo médio e dos juros mensais decorrentes da movimentação dessa conta.
As contas correntes associadas aos "cheques especiais" são exemplos corriqueiros da aplicação prática da metodologia a ser apresentada.
Juros em contas correntes (cheques especiais) 
Considere os capitais C1, C2, C3, ... , Ck aplicados pelos prazos n1, n2, n3, ... , nk, à taxa de juros simples i. A fórmula abaixo, permite o cálculo dos juros totais J produzidos no período considerado:
J = i.(C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ... + Ck.nk) 
O cálculo dos juros pelo método acima (conhecido como "Método Hamburguês") é utilizado para a determinação dos juros sobre os saldos devedores dos "cheques especiais".
Saldo médio
O saldo médio é calculado pela seguinte fórmula:
onde C1, C2, ... , Ck são os saldos credores e n1, n2, ... , nk os prazos
Nestas condições, vamos resolver o exercício seguintes, usando as fórmulas vistas anteriormente:
Considere que um cliente de um banco recebeu o extrato em REAIS mostrado abaixo. Sabe-se que o banco cobra 8% ao mês sobre os saldos devedores. Pede-se calcular:
a) quanto este cliente pagará de juros relativos ao mês de janeiro?
b) o Saldo Médio em janeiro.
	DATA
	Valor do lançamento
	D/C
	Saldo
	D/C
	28/12
	Saldo anterior
	-
	50,00
	C
	03/01
	500,00
	D
	450,00
	D
	07/01
	30,00
	D
	480,00
	D
	10/01
	500,00
	C
	20,00
	C
	22/01
	50,00
	D
	30,00
	D
	25/01
	800,00
	C
	770,00
	C
	30/01
	150,00
	C
	620,00
	C
SOLUÇÃO: 
Inicialmente, com base na tabela dada, vamos construir a tabela de saldos devedores abaixo:
	Saldo devedor (S)
	Número de dias (n)
	S x n
	450
	4
	1800
	480
	3
	1440
	30
	3
	90
	*******************************************************
	3330
Agora determinaremos à taxa de juros diária, lembrando que o mês de janeiro possui 31 dias. Teremos:
id = 8% / 31 = 0,08 / 31 = 0,0026
Portanto, os juros deste "cheque especial" serão:
J = 0,0026 x 3330 = 8,59
ou seja, juros de $8,59.
Para o cálculo do saldo médio, devemos montar inicialmente a tabela dos saldos credores, conforme abaixo:
	Saldo credor (S)
	Número de dias (n)
	S x n
	50
	2
	100
	20
	12
	240
	770
	5
	3850
	6201
	620
	Total
	20
	4810
Portanto, o saldo médio mensal será:
Sm = 4810 / 20 = 240,50
ou seja, um saldo médio de $ 240,50.
Para fixar os conceitos, resolva agora este:
Um portador de cheque especial recebeu do banco X o extrato abaixo.
Sabe-se que o banco cobra uma taxa de 15% a. m. sobre os saldos devedores. Quanto este cliente vai pagar de juros? Qual o seu saldo médio?
	DATA
	Valor do lançamento
	D/C
	Saldo
	D/C
	01/06
	Saldo anterior
	-
	2400,00
	C
	05/06
	1200,00
	D
	1200,00
	C
	08/06
	1000,00
	D
	200,00
	C
	12/06
	600,00
	D
	400,00
	D
	20/06
	100,00
	C
	300,00
	D
	25/06
	6000,00
	C
	5700,00
	C
	28/06
	8000,00
	D
	2300,00
	D
	30/06
	10000,00
	C
	7700,00
	C
RESPOSTA: 
J = $ 46,50; Sm = 2586,67
	Um primeiro contato com a calculadora HP12C
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A calculadora HP12C é uma máquina de uso relativamente simples, bastante utilizada nos cálculos pertinentes à Matemática Financeira. Vamos mostrar nesta seção, os rudimentos do seu uso elementar. 
Veja na figura a seguir, o teclado básico da mesma.
NOTA: 
os vestibulares brasileiros não permitem o uso de calculadoras eletrônicas - científicas ou financeiras - o que é um absurdo! Afinal, as provas de vestibulares deveriam mensurar a capacidade do aluno de RACIOCINAR e, não, simplesmente a capacidade de efetuar alguns cálculos elementares, os quais são fortemente contemplados pelas calculadoras.
Ao saírem da Universidade, os cidadãos formados, usam e abusam das calculadoras na vida prática! O Ministério da Educação deveria analisar esta questão mais detalhadamente. 
Um dia. Quem sabe? ...
Uso da HP 12C para o cálculo de juros simples
entre com o número de dias n 
entre com a taxa anual i 
entre com o valor principal CHS PV 
tecle f INT : obtém-se os juros 
tecle + para obter o montante. 
Obs.: esta é uma regra geral para o uso da HP 12C para o cálculo de juros simples: o período deve ser expresso em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa anual.
Exemplo:
Determine os juros produzidos e o montante ao final de 8 meses, de um capital de $1500,00 aplicados à taxa de juros simples de 40% a.a.
Na HP:
240 n
40 i
1500 CHS PV
f INT (resultado no visor: 400)
+ (resultado no visor: 1900)
Resposta: 
Juros = $400,00 e Montante = $1900,00
Uso da HP 12C para o cálculo de porcentagens
A calculadora HP12C possui três teclas para resolução de problemas de cálculo de porcentagem: 
 %
%T
%
Cálculo de porcentagem - uso da tecla %
Para calcular x% de N:
digite o número N 
tecle ENTER 
digite o número x 
pressione a tecla % 
Exemplo: 
Calcule 22% de $3000,00.
Na HP12C:
3000
ENTER
22
%
Resultado no visor = 660.
Cálculo de diferença percentual - uso da tecla  %
Para achar a diferença percentual entre dois números M (número base) e N.
digite o número base M 
tecle ENTER 
digite o outro número 
pressione a tecla  % 
Exemplo: 
O valor de um lote de 1000 ações de uma Empresa, baixou de $96,00 para $91,00. Qual foi a variação percentual?
Na HP 12C: 
96
ENTER
91
 %
Resultado no visor: 
- 5,21 (o sinal menos quer dizer que houve uma redução de 5,21%).
Percentual de um total - uso da tecla %T
Permite calcular qual percentual um número representa em relação a outro.
Exemplo: 
Uma empresa efetuou no mês passado vendas de $3,92 milhões nos Estados Unidos, $2,36 milhões na Europa e $1,67 milhões no resto do mundo. Qual o percentual sobre o total de vendas correspondeu ao resto do mundo?
Teremos, na HP 12C:
3,92
ENTER
2,36 +
1,67 +
1,67
%T
Aparecerá no visor o número 21,00 que corresponde ao percentual de 21,00%.
Funções calendário oferecidas pela HP12C
Nas calculadoras HP12C podem ser utilizadas datas a partir de 15/11/1582 até 25/11/4096 !.
Teclas a serem utilizadas
D.MY Formato dia/mês/ano (usado no Brasil)
M.DY Formato mês/dia/ano (usado no USA)
 DYS Variação em dias
g DATE Dia da semana
Normalmente a máquina estará no formato M.DY (mês/dia/ano) que é o formato americano. Para mudar para D.MY (dia/mês/ano) , deveremos teclar g D.MY e esta notação aparecerá no visor.
Exemplo 1:
Quantos dias transcorreram desde o início da Revolução francesa (20/06/1789) até o dia 08/01/1999 ?
Na HP12C:
g D.MY para mudar a calculadora para o modo brasileiro (dia/mês/ano)
20.061789 (assim mesmo como está escrito; não esqueça do ponto).
ENTER
08.011999
g  DYS
Resposta no visor: 76.537 dias
Exemplo 2:
Em que dia da semana caiu 31/07/1997, data da privatização da COELBA?
Na HP12C
31.07.1997
ENTER
0
g DATE
Resposta no visor: 31,07,1997 4
4 = quinta feira 
NOTA:
1 = SEGUNDA FEIRA 
2 = TERÇA FEIRA 
3 = QUARTA FEIRA
4 = QUINTA FEIRA 
5 = SEXTA FEIRA 
6 = SÁBADO
7 = DOMINGO
Exemplo 3:
Quarenta e cinco dias antes de 08/01/99 foi assinado um contrato. Qual a data exata da assinatura do contrato e em que dia caiu?
Na HP12C:
08.011999
ENTER
45
CHS (porque a data está no passado; CHS = change signal = muda o sinal)
g DATE
Resultado no visor: 24,11,1998 2 
	Valor Presente e Valor Futuro
�
Na fórmula S = P (1 + I) n , o principal P é também conhecido como Valor Presente  
(PV = present value) e o montante S é também conhecido como Valor Futuro  
(FV = future value).
Aliás, estas são as designações utilizadas na máquina HP12C.
A fórmula anterior pode então ser escrita:
FV = PV (1 + I) n e, como conseqüência, vem imediatamente que:
Isto pode ser representado graficamente através da figura abaixo, que representa um diagrama de fluxo de caixa, assunto que abordaremos mais detalhadamente na seqüência do assunto.
Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa de juros i. Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer do curso. É conveniente registrar que existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro recebido) e seta para baixo, sinal negativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante, inclusive quando se usa a calculadora HP 12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP numa calculadora financeira, o fazemos seguindo esta convenção, mudando o sinal da quantia considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, que significa uma abreviação de "change signal", ou seja, "mudar o sinal". É conveniente ressaltar que se entrarmos com o PV positivo, a calculadora expressará o FV como um valor negativo e vice versa, já que as calculadoras financeiras, e aí inclui-se a HP 12C, foram projetadas, considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no desenvolvimento do curso.
Voltemos agora ao uso da calculadora HP12C
Apresentaremos a seguir a seqüência de comandos na HP12C, para determinação de PV (valor presente), FV (valor futuro), i (taxa de juros) e n (número de períodos).
Cálculo de FV
digite o valor presente PV 
tecle CHS 
Nota: o CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o valor de PPV (present value) - dinheiro pago, conforme convenção.
tecle PV 
digite 0 
tecle PMT 
digite a taxa i ( em %; ex.: i = 12% , digite 12) 
tecle i 
digite o número de períodos n 
tecle n 
tecle FV 
Resposta no visor: o valor futuro procurado.
NOTA: Por enquanto, não se preocupe com a tecla PMT, que será explicada adiante. Basta saber que PMT é uma abreviação de payment , que significa pagamento, em inglês. O algarismo 0 (zero) digitado antes de teclar PMT, significa que você anulou o pagamento periódico PMT, uma vez que realmente ele não ocorreu.
Cálculo de PV
entre com o valor de FV 
CHS ......FV 
0 
PMT 
entre com o valor de n 
tecle n 
entre com o valor de i 
tecle i 
tecle PV 
Cálculo de n
entre com o valor de PV 
CHS ......PV 
0 
PMT 
entre com o valor de FV 
tecle FV 
entre com o valor de i 
tecle i 
tecle n 
Cálculo de i
entre com o valor de PV 
CHS PV 
0 
PMT 
entre com o valor de FV 
tecle FV 
entre com o valor de n 
tecle n 
tecle i 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Nota: Se você possuir uma calculadora HP12C, use as sequências indicadas acima para resolver os problemas abaixo.
1 - Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos $ 1.000,00 a 2,5%ao mês?
Solução: FV = 1000(1 + 0,025)12 = $ 1.344,89
Notas:
a) é sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLEAR REG (limpa registradores), ou f CLEAR FIN (limpa registradores financeiros, mas, não limpa o visor). 
b) para alterar o número de casa decimais apresentados pela calculadora HP 
12C, estando ela ligada, tecle f seguido de um número 1, 2, 3, 4, ... etc., para obter no visor 1, 2, 3, 4 ... casas decimais. Por exemplo, o comando f 4, colocará a calculadora para exibir no visor 4 casas decimais.
c) na calculadora HP 12C, o termo registradores, significa memórias de armazenamento de dados, enquanto que o termo registradores financeiros, refere-se aos registros especiais nos quais são armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV.
2 - Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber $ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros de 10% ao ano?
Solução: 10000 = PV(1 + 0,10)5  PV = $ 6.209,21
3 - Calcular qual a taxa de juros a que devemos empregar o capital de $ 150.000,00 para render no final do período de 6 anos, o montante de $ 251.565,00?
Solução: 251565 = 150000(1 + i)6  i = 9% a.a.
4 - O capital de $ 37.500,00 é colocado no regime de capitalização composta à taxa de 9% ao trimestre. No fim de um certo prazo, o montante atingiu $ 62.891,25. Calcular o número de meses.
Solução: 62891,25 = 37500(1 + 0,09)n  n = 6 trimestres = 18 meses
Exercícios propostos
1 - Aplicando-se $ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o montante no fim do período?
Resposta: $ 1.215,51
2 - Um capital de $ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. Quais os juros gerados no período?
Resposta: $ 691.736,68
3 - Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação?
Resposta: 5,94% a.m.
4 - Calcule o montante de $1000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias.
Resposta: $1013,89. 
	Descontos Simples
�
Descontos simples
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
V = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 - dn)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00
Desconto bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura. 
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios propostos:
1 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00
2 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.
Resp: 6,06% a.m.
	Diagramas de fluxo de caixa
�
Nota: é importante que você tenha estudado os capítulos anteriores sobre Matemática Financeira publicados nesta página, para entender a explanação a seguir.
Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i.
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção: 
dinheiro recebido  seta para cima 
dinheiro pago  seta para baixo.
Exemplo:
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.
	Convenção: 
	dinheiro recebido  flecha para cima  valor positivo
	
	dinheiro pago  flecha para baixo  valor negativo
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto acima, concluímos que o valor presente - PV - do fluxo de caixa será:
Estafórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos exercícios a seguir.
Utilize uma calculadora científica para efetuar os cálculos indicados.
Se você não possuir uma, utilize a calculadora do WINDOWS. 
1 - Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro:
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do décimo segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento?
SOLUÇÃO:
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
PLANO A:
PLANO B:
Teremos para o plano A: 
Para o plano B, teremos:
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluimos que este plano A é mais atraente do ponto de vista do consumidor.
2 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00 mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 5% a.m.? 
SOLUÇÃO:
Vamos desenhar os fluxos de caixa:
À vista:
À prazo:
Vamos calcular o valor atual (ou valor presente PV - Present Value) para esta alternativa:
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso, é a melhor alternativa, do ponto de vista do consumidor.
3 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o seguinte plano:
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, calcule o valor da última parcela.
SOLUÇÃO:
Teremos:
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00
Portanto, o valor da prestação é $19013,00.
Agora resolva este:
Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: $ 400,00 de entrada, mais duas parcelas mensais de $ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor à vista do televisor se a taxa de juros mensal é de 
3% ?
Resposta: o valor à vista é igual a $1165,38.
	Fórmulas básicas do Cálculo Financeiro Composto (Juros Compostos)
�
Consideremos a seguinte simbologia:
	i -
	taxa de juros por período
	n -
	número de períodos
	P -
	capital inicial , valor atual ou valor presente 
	S -
	capital no final do período n ou valor futuro
	R -
	pagamentos periódicos 
NOTAS:
a) a taxa de juros i deve sempre ser expressa em relação ao número de períodos n .
b) Exemplo: se i for 2% ao mês (2% a. m.), o número de períodos deve ser também expresso em meses; se i for 10% ao trimestre 10% a. t.), o número de períodos deve ser expresso em trimestres e assim sucessivamente.
c) Nas calculadoras financeiras - a HP 12C por exemplo - P é indicado pela tecla PV, que significa PRESENT VALUE (Valor presente), S é indicado pela tecla FV, que significa FUTURE VALUE (Valor Futuro) e R é indicado pela tecla PMT, que significa PAYMENT (Pagamento).
d) os pagamentos periódicos R ou PMT, podem ser feitos no início dos períodos ou no final dos períodos. Ao usar a calculadora HP12C para pagamentos efetuados no início dos períodos, deve-se informar isto à calculadora, teclando g BEGIN. (Begin = início, começo). Normalmente, as calculadoras estão no estado END ou seja, pagamentos efetuados no final dos períodos.
FÓRMULAS:
1 - Conhecendo-se P, i e n, calcular S
2 - Conhecendo-se S, i e n, calcular P
Conseqüência imediata da fórmula anterior:
3 - Conhecendo-se R, i e n, determinar S
4 - Conhecendo-se R, i e n, determinar P
Conseqüência imediata da fórmula anterior.
5 - Conhecendo-se S, i e n, determinar R
6 - Conhecendo P, i e n, determinar R
7 - Problemas propostos
7.1 - Qual o montante acumulado a partir da aplicação de $2895,00 a 3,5% ao mês durante 3 anos e meio?
Resposta: $12277,70
7.2 - Investindo-se mensalmente $150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao mês, qual o valor acumulado ao final do período?
Resposta: $198200,00
7.3 - Uma dívida de $1000,00 deve ser quitada em 12 parcelas mensais, à taxa de juros de 3% ao mês. Determine o valor de cada prestação.
Resposta: $100,50
7.4 - Quanto deveremos depositar trimestralmente numa conta que rende 6% ao trimestre, para termos $22800,00 ao final de 105 meses?
Resposta: $203,00
	
	Vinte problemas resolvidos de Juros Simples
�
1 - Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. , durante 125 dias.
SOLUÇÃO:
Temos: j = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
j = 40000.0,001.125 = $5000,00
2 - Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses. 
Qual a taxa de juros do empréstimo?
SOLUÇÃO:
Temos: j = Pin ;
2520 = 8000.i.7; 
Daí, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7
Então, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m.
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias?
SOLUÇÃO:
Temos imediatamente: j = Pin ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) 
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = $116.666,67
4 - Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?
SOLUÇÃO: 
j = Pin
1725 = 11500.(4,5/100).n
1725 = 11500.0,045.n = 3,3333... meses = 3 meses + 0,3333...de um mês = 3 meses + 1/3 de um mês 
= 3 meses e 10 dias.
5 - Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?
SOLUÇÃO:
Temos: M = P(1 + in).
20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08
6 - Calcule o montante resultante da aplicação de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42 
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos?
SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem:
70300/38000 = 1 + 10.i
1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a.
Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja:
i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m.
8 - Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado?
SOLUÇÃO: 
Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de tempo, vem:
886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00
Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por 180 dias, para expressar o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre.
9 - Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00?
SOLUÇÃO:
M = P(1+ in)
650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02
Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que 
1 bimestre = 60 dias.
10 - Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual a taxa mensal de juros simples?
SOLUÇÃO:
j = Pin
1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = 3.30 + 18 = 108 dias.
Logo, i = 1839,96 / 5380.108 = 0,003167 a.d. = 0,3167% a.d. 
Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja:
i= 0,3167% a.d. X 30 = 9,5% a.m.
11 - Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 diase, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado?
SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia)
5 meses e 13 dias = 5.30 + 13 = 163 dias.
Logo, como i e n estão referidos à mesma unidade de tempo, podemos escrever:
10280,38 = P(1 + 0,0025.163), de onde tiramos P = $ 7.304,00
12 - Obteve-se um empréstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?
SOLUÇÃO:
8 meses e meio = 8.30 + 15 = 255 dias. Teremos, então:
M = P(1 + in)
14675 = 10000(1 + i.255), de onde vem:
14675/10000 = 1 + 255.i
1,4675 = 1 + 255.i
0,4675 = 255.i
i = 0,001833 a.d. = 0,1833% a.d.
Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0,001833.360 = 0,66 a.a. Ou expressando em termos de porcentagem, i = 0,66.100 = 66% a.a.
13 - Em quanto tempo um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor?
SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem:
2P = P[1 + (48/100).n]
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,48.n
1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2,088333... anos
Para obter o período em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja:
n = 2,088333... x 12 = 25 meses.
14 - Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.).
SOLUÇÃO: 
M = P(1 + in)
Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto:
798000 = P[1 + (15/100) . 6], de onde tiramos P = $420.000,00
15 - Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $450.000,00 por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês (5,6% a.m.).
SOLUÇÃO: 
M = P(1 + in)
225 dias = 225/30 = 7,5 meses
Logo,
M = 450000[1 + (5,6/100).7,5] = $639.000,00
16 - Se possuo um título com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui a 2 anos e a taxa de juros simples correntes é de 28% a.a. , qual o valor atual deste título nas seguintes datas:
a) hoje
b) daqui a um ano
c) 4 meses antes do vencimento.
SOLUÇÃO: 
Vale aqui, recordar os conceitos de valor atual e valor nominal do dinheiro.
Valor nominal = é quanto vale um compromisso na sua data de vencimento.
Valor atual = é o valor que um compromisso possui em uma data que antecede ao seu vencimento.
a) valor atual do título hoje:
M = P(1 + in) 
15000 = P(1 + 0,28.2), de onde tiramos P = $9.615,38
b) valor atual do título daqui a um ano:
n = 1 ano (faltam 2 - 1 = 1 ano para o vencimento).
15000 = P(1 + 0,28.1), de onde tiramos P = $11.718,75
c) valor atual do título 4 meses antes do vencimento:
n = 4meses e i = 0,28/12 = 0,02333 a. m. 
15000 = P(1 + 4.0,02333), de onde tiramos P = $13.719,51
17 - João tomou emprestado $20.000,00 de Carlos para pagá-lo após 2 anos. A taxa acertada de juros simples foi de 30% a.a. . Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dívida, João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a. ? 
SOLUÇÃO:
M = P(1 + in)
M = 20000(1 + 0,30.2) = $32.000,00 - este seria o valor a ser pago a Carlos, no final dos dois anos. Para resgatar a dívida 6 meses antes, a uma taxa de juros de 25% a.a. , que é equivalente a
0,25/12 = 0,020833 a.m. , teríamos:
32000 = P(1 + 0,020833.6), de onde tiramos P = $ 28.444,44
18 - João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa de juros simples de 28,8% a.a.. Sabendo-se que João pagou $2.061,42 para Carlos, saldando a dívida 2 meses antes do seu vencimento e que nesta época a taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto João tomou emprestado e qual era o prazo inicial se os juros previstos eram de $648,00?
SOLUÇÃO:
Se João quitou a dívida dois meses antes do vencimento, com o pagamento da quantia de $2.061,42 a uma taxa de juros vigente de 25,2% a.a., poderemos escrever:
M = 2061,42[1 + (0,252/12).2] = $2.148,00 - este seria o valor do pagamento no final do período total. Como é dito que os juros previstos inicialmente eram iguais a $648,00, concluímos que o valor P inicial emprestado era igual a $2148 - $648,00 = $1.500,00, o que responde à primeira parte do problema.
Para calcular o período total n, teremos:
2148 = 1500[1 + (0,288/12).n]
2148/1500 = 1 + 0,024.n
1,432 - 1 = 0,024.n
0,432 = 0,024.n
n = 18 meses
Nota: observe que a taxa 0,288 a.a. Ao ser dividida por 12, transforma-se numa taxa mensal. Daí, o período n encontrado é expresso em meses.
19 - João aplicou $10.000,00 à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, João propôs a transferência da aplicação para Paulo. Quanto Paulo deverá pagar pelo título, se a taxa de juros simples do mercado for de 35% a.a. ?
SOLUÇÃO: 
O valor nominal do título no seu vencimento será:
M = P(1 + in)
M = 10000[1 + (0,30/12).9] = $12.250,00
Como o título será negociado 2 meses antes do vencimento, quando a taxa de juros do mercado é de 35% a.a. ou seja, 0,35/12 = 0,0292 a.m., vem:
12250 = P(1 + 0,0292.2), de onde tiramos P = $11.574,80
Portanto, o valor justo que Paulo deverá pagar pelo título é $11.574,80.
20 - Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?
SOLUÇÃO:
Temos: j = 2P
j = Pin
2P = P.0,10.n , de onde tiramos n = 20 anos.
	Dois problemas para iniciantes
�
1 - Um capital de $20.000,00 foi investido num regime de juros compostos, durante 18 meses, numa aplicação que rende 2% ao mês. Calcule o montante no final do período.
SOLUÇÃO
Temos: S = P(1 + i)n = 20000[1 + (2/100)]18 = 20000.(1,02)18 = $28564,92 
Comentários:
a) na fórmula acima, S é o montante ou valor futuro (FV – future value) e P é o capital inicial ou valor presente (VP – present value) ; é conveniente ressaltar que a taxa i e o período n, devem estar sempre, referidos à mesma unidade de tempo.
b) para efetuar o cálculo acima, deverá ser utilizada uma calculadora científica ou financeira. Caso você não possua uma calculadora científica, utilize a calculadora do Windows. 
. 
c) a seqüência para efetuar o cálculo acima na calculadora financeira HP 12C, é:
20000 
CHS 
PV
2 
i
18 
n
FV
Após clicar em FV, aparecerá no visor o montante procurado (28.564,92).
d) na calculadora HP 12C, a tecla CHS significa change signal ou seja, muda o sinal. A convenção utilizada na HP 12C é que um valor pago deve ser introduzido na calculadora como um valor negativo e, um valor recebido, como um valor positivo. Observe que ao investir $20000,00, é como se você pagasse os $20000,00 (valor negativo), para receber no futuro $28564,92 (valor positivo). Por este motivo é que você deve teclar CHS após introduzir o valor 20000, conforme visto acima.
2 – Qual o capital que precisa ser investido durante 5 anos, à uma taxa de 10% ao ano, para se obter um montante de $10000,00 ao final do período?
SOLUÇÃO
Como S = P(1 + i)n , vem que P = S / (1 + i)n
Então,
P = 10000 / [1 + (10/100)]5 = 10000 / (1,10)5 = $6.209,21
A seqüência para efetuar o cálculo acima na calculadora financeira HP 12C, é:
10000 
FV
10
i
5
n
PV
Após clicar em PV, aparecerá no visor o capital inicial procurado ( - 6.209,21). O sinal negativo deve-se à convenção adotada na HP 12C, comentada anteriormente.
	Taxas equivalentes no regime de capitalização composta
�
Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital P, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante.
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . 
O montante S ao final do período de 1 ano será igual a S = P(1 + i a ) 
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . 
O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a S’ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter S = S’.
Portanto, P(1 + i a ) = P(1 + im)12 
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhecida.
Exemplo:
Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m. ?
Ora, lembrando que 1% = 1/100 = 0,01 , vem:
1 + ia = (1 + 0,01)12 ou 1 + ia = 1,0112= 1,1268
Portanto, ia = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68%
Observe portanto, que no regime de juros compostos, a taxa de juros de 1% a.m. eqüivale à taxa anual de 12,68% a.a. e não 12% a.a., como poderia parecer para os mais desavisados.
Podemos generalizar a conclusão vista no parágrafo anterior, conforme mostrado a seguir. 
Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais.
Não é necessário memorizar todas as fórmulas. 
Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos por exemplo escrever:
1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres] 
Perceberam?
Exercícios resolvidos e propostos
1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + is)2
Como 5% = 0.05, vem: 1 + ia = 1,052ia = 0,1025 = 10,25%
2 - Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + im)12
Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:
1 + 0,20 = (1 + im)12
1,20 = (1 + im)12
Dividindo ambos os expoentes por 12, fica:
1,201/12 = 1 + im
Usando uma calculadora científica – a do Windows também serve – obteremos o valor de
im = 0,0153 = 1,53% a.m. 
3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
Resp: 6,17% a.a.
4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre?
Resp: 2% a.m.
5 - Uma taxa diária de 1%, eqüivale a que taxa mensal?
Resp: 37,48%
	Taxa nominal e taxa real de juros
�
1 - Taxa nominal
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo 
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
2 - Taxa real
A taxa real expurga o efeito da inflação.
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas!
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in .
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).
Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante 
S2 = P (1 + j). 
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2 , produzirá o montante S1. Poderemos então escrever: S1 = S2 (1 + r)
Substituindo S1 e S2 , vem:
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que: 
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período
r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes.
Veja o exemplo a seguir:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25%
Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa!
Agora resolva este:
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
Resp.: 25%
	Série de pagamentos I
�
Introdução
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn, distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou recebimentos) ao longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de caixa. Vamos resolver a seguir, os problemas nos quais 
R1 = R2 = R3 = ... Rn = R, ou seja: pagamentos (ou recebimentos) iguais.
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO. 
Exemplos:
1 - Pagamentos no início dos períodos: Fluxo ANTECIPADO (BEGIN)
2 - Pagamentos no final dos períodos: Fluxo POSTECIPADO (END).
Na calculadora HP12C, o modo normal de operação é na posição g END ou seja fluxo postecipado. Para as seqüências antecipadas, deveremos teclar g BEG 
(BEG de begin = início). Caso não seja feita nenhuma referencia , devemos considerar sempre que o fluxo é postecipado.
Fator de acumulação de capital - FAC
O problema a resolver é o seguinte:
Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i a taxa de juros por período. 
Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado.
NOTA: na calculadora HP12C, R é expressa pela tecla PMT (pagamentos periódicos). Portanto R e PMT possuem o mesmo sentido, ou seja, a mesma interpretação. Da mesma forma, S corresponde a FV na calculadora HP 12C.
A) Fluxo postecipado 
Considere o fluxo de caixa postecipado a seguir, ou seja: os pagamentos são feitos nos finais dos períodos.
Vamos transportar cada valor R para o tempo n, supondo que a taxa de juros é igual a i , lembrando que trata-se de um fluxo de caixa POSTECIPADO, ou seja, os pagamentos são realizados no final de cada período.
Teremos:
S = R(1+i)n-1 + R(1+i)n-2 + R(1+i)n-3 + ... + R(1+i) + R 
Colocando R em evidencia, teremos:
S = R[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1]
Observe que a expressão entre colchetes, é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo (1+i)n-1, último termo 1 e razão 1/(1+i).
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, teremos:
Nota: em caso de dúvida, consulte o arquivo Progressão Geométrica. 
(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1 = 
Substituindo o valor encontrado acima, vem finalmente que:
• o fator entre colchetes é denominado Fator de acumulação de capital - FAC(i,n).
• assim, teremos: S = R . FAC(i,n). Os valores de FAC(i,n) são tabelados. Na prática, utilizam-se as calculadoras científicas ou financeiras, ao invés das tabelas.
Usando-se a simbologia adotada na calculadora HP 12C, onde R = PMT e S = FV, teremos a fórmula a seguir:
Exemplo:
Aplicando-se $200,00 por mês num Fundo de Renda Fixa a uma taxa mensal de 5%, pede-se calcular o montante ao final de 10 anos, considerando-se que as aplicações são feitas no final dos períodos.
Solução:
Aplicando-se diretamente a fórmula vista anteriormente, vem:
S = 200[(1+ 0,05)120 – 1] / 0,05 = $ 1.391.647,94
Observe que 120 = 10 anos x 12 meses.
Usando a calculadora financeira HP 12C, teríamos:
200 
CHS 
PMT
5
i
120
n
FV
Aparecerá no visor, o valor calculado acima.
B) Fluxo antecipado
Dando continuidade, vamos supor agora que o fluxo de caixa fosse ANTECIPADO, ou seja, com os pagamentos periódicos realizados no início dos períodos.
Nestas condições, teríamos, transportando todos os pagamentos periódicos parao período n:
S = R(1 + i)n + R(1 + i)n-1 + ... + R(1 + i) 
Colocando R em evidencia, teremos:
S = R[(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ... + (1 + i)]
Observe que a expressão entre colchetes, é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica – PG, de primeiro termo (1+i)n , último termo 1+ i e razão 1/(1+i).
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG, teremos:
(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ... + (1 + i) =
Substituindo o valor encontrado acima, encontraremos finalmente:
Observe que a fórmula acima (para pagamentos antecipados), difere da anterior (pagamentos postecipados), pelo aparecimento do fator (1 + i). Quando colocamos a calculadora HP 12C no estado BEG, ou seja, pagamentos antecipados, ela ajusta a fórmula vista no início dessa seção, para a fórmula acima, automaticamente.
Usando a simbologia adotada nas calculadoras HP 12C, a fórmula acima ficaria:
Exemplo: 
Aplicando-se $200,00 por mês num fundo de renda fixa a uma taxa de 5% a.m. , pede-se calcular o montante ao final de 10 anos, sabendo-se que as aplicações são feitas sempre no início de cada mês.
Solução: 
Aplicando-se diretamente a fórmula vista anteriormente, vem:
S = 200(1+ 0,05)[(1+ 0,05)120 – 1] / 0,05 = $ 1.461.230,34
Observe que 120 = 10 anos x 12 meses.
Usando a calculadora financeira HP 12C, teríamos:
g 
BEG
200 
CHS 
PMT
5
i
120 
n
FV
Aparecerá no visor, o valor calculado acima.
	
	Série de pagamentos II
�
Fator de formação de capital – FFC
O problema a resolver é o seguinte:
Determinar a quantia R a ser depositado em cada período, sendo i a taxa de juros por período, para que se obtenha no final dos períodos, o montante S. Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado.
Fluxo postecipado
Da fórmula vista na lição anterior, deduzimos imediatamente que:
o fator entre colchetes é denominado Fator de formação de capital - FFC(i,n). 
assim, teremos: R = S . FFC(i,n). Os valores de FFC(i,n) são tabelados. 
A fórmula acima é muito importante, por exemplo, para o planejamento de poupança, tabela price, etc.
Utilizando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria:
Exemplo: Um investidor deseja resgatar $1.000.000,00 ao final de 10 anos, de um fundo de renda fixa que remunera o capital investido a 3% a .m. Determine quanto ele deverá depositar ao final de cada mês, para obter o montante desejado ao final dos 10 anos.
Solução: Substituindo os valores na fórmula, vem:
R = 1000000.[0,03/(1+0,03)120 – 1] = $889,92
Pela calculadora HP 12C:
1000000
FV
120
n
3
i
PMT
Aparecerá no visor, o valor –889,92 , com o sinal negativo, uma vez que pela convenção adotada na calculadora HP 12C, os valores pagos, são considerados negativos, conforme já vimos antes.
Fluxo antecipado
Da fórmula vista no capítulo anterior, deduzimos imediatamente:
Exemplo: Um investidor deseja resgatar $1.000.000,00 ao final de 10 anos, de um fundo de renda fixa que remunera o capital investido a 3% a.m. Determine quanto ele deverá depositar no início de cada mês, para obter o montante desejado ao final dos 10 anos.
Solução:
Substituindo os valores na fórmula, vem:
R = 1000000. [1/(1+0,03)][0,03/(1+0,03)120 – 1] = $863,99
Pela calculadora HP 12C:
g
BEG
1000000
FV
120
n 
3
i
PMT
Aparecerá no visor, o valor –863,99, com o sinal negativo, uma vez que pela convenção adotada na calculadora HP 12C, os valores pagos, são considerados negativos, conforme já vimos antes.
	
	Série de pagamentos III
�
Fator de valor atual – FVA
Considere o seguinte problema:
Determinar o principal P que deve ser aplicado a uma taxa i para que se possa retirar o valor R em cada um dos n períodos subsequentes.
Este problema também poderia ser enunciado assim: qual o valor P que financiado à taxa i por período, pode ser amortizado em n pagamentos iguais a R?
Fluxo postecipado (pagamentos ao final de cada período, conforme figura a seguir:
Trazendo os valores R para o tempo zero, vem:
O fator entre colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 1/(1+i), razão 1/(1+i) e último termo 1/(1+i)n. 
Teremos então, usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica:
O fator entre colchetes será então igual a:
Substituindo, vem finalmente:
o fator entre colchetes, é denominado Fator de valor atual – FVA(i,n) 
assim, teremos: P = R . FVA(i,n). Os valores de FVA(i,n) são tabelados. 
observe que P corresponde a PV e R corresponde a PMT na calculadora HP 12C. 
Usando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria:
Exemplo: Qual o valor do empréstimo que poderá ser amortizado em 10 prestações mensais de $200,00, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% ao mês e que os pagamentos são efetuados no final de cada mês?
Solução: 
P = 200{[(1+0,05)10 – 1] / [0,05(1+0,05)10]} = $1544,35
Pela HP 12C:
200
CHS
PMT
10
n
5
i
PV
Aparecerá no visor, o valor encontrado acima.
Fluxo antecipado (pagamentos ao início de cada período, conforme figura a seguir:
Trazendo os valores de R para a data zero, teremos:
O fator entre em colchetes, representa uma progressão geométrica de primeiro termo 1, razão 1/(1+i) e último termo 1/(1+i)n-1.
O fator entre em colchetes será igual a:
Substituindo, vem finalmente:
Exemplo: Qual o valor do empréstimo que poderá ser amortizado em 10 prestações mensais de $200,00, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% ao mês e que os pagamentos são efetuados no início de cada mês?
Solução: 
P = 200(1+0,05){[(1+0,05)10 – 1] / [0,05(1+0,05)10]} = $1621,56
Pela HP 12C:
g
BEG
200
CHS
PMT
10
n
5
i
PV
Aparecerá no visor, o valor encontrado acima.
	Série de pagamentos IV
�
Fator de recuperação de capital – FRC
O problema a resolver é o seguinte:
Determinar a quantia R a ser depositada em cada período, sendo i a taxa de juros por período, para quitar um empréstimo P (valor principal). Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado.
Fluxo postecipado (pagamentos no final de cada período)
Da fórmula vista na lição anterior, deduzimos imediatamente que:
o fator entre colchetes é denominado Fator de recuperação de capital - FRC(i,n). 
assim, teremos: R = P . FRC(i,n). Os valores de FRC(i,n) são tabelados. 
Utilizando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria:
Exemplo: Um empréstimo de $1544,35 deve ser pago em 10 prestações iguais. Pede-se calcular o valor de cada prestação sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que os pagamentos são feitos ao final de cada período.
Solução: Teremos imediatamente pela fórmula acima:
R = 1544,35{[0,05(1+0,05)10 ] / [(1+0,05)10 - 1]} = $200,00
Nota: 0,05 = 5% = 5/100
Pela calculadora HP 12C:tecle na sequência:
1544,35
PV
10
n
5
i
PMT
Aparecerá no visor o valor (-200,00); o sinal negativo é uma mera convenção da HP 12C para valores pagos.
Fluxo antecipado (pagamentos no início de cada período)
Da fórmula vista no capítulo anterior, deduzimos imediatamente:
Exemplo: Um empréstimo de $1621,56 deverá ser pago em 10 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 
5% a.m. e que os pagamentos são efetuados no início de cada mês, pede-se calcular o valor de cada prestação.
Solução:
Substituindo os valores na fórmula, vem:
R = 1621,56{[0,05(1+0,05)10 ] / [(1+0,05)[(1+0,05)10 - 1]} = $200,00
Pela calculadora HP 12C: tecle na sequência:
g BEG
1621,56
PV
10
n
5
i
PMT
Aparecerá no visor o valor (-200,00); o sinal negativo é uma mera convenção da HP 12C para valores pagos.
	Um problema bem simples
3/5 de um capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano e, o restante a 15% ao ano, pelo mesmo período. Sabendo-se que estas aplicações renderam R$ 168,00 de juros no período, podemos afirmar que o capital aplicado foi igual a:
A) R$ 1200,00
B) R$ 1300,00
C) R$ 1400,00
D) R$ 1500,00
E) R$ 1600,00
Solução:  
Já sabemos que um capital P aplicado a uma taxa de juros simples  i  durante  n períodos, produz juros 
  j = Pin.
O grande detalhe a ser considerado na fórmula acima é que a taxa  i  e o períodon têm necessariamente de serem expressos  em relação à mesma unidade de tempo. Assim é que se i estiver expresso em % ao mês, o período n deve também ser expresso em meses; se a taxa i estiver expressa em % ao ano, o período n deve também ser expresso em anos e assim sucessivamente.
No nosso caso,  vamos considerar que seja C o capital total aplicado.
Teremos então:
a) Seja J1 o juro produzido pelos 3/5 do capital C aplicado a 18% ao ano durante 8 meses. 
Podemos escrever:
J1 = (3/5)C.(0,18).(8/12)
Observe que 18% = 18/100 = 0,18  e  8 meses = (8/12) anos. Lembre-se que a taxa e o período devem ser expressos em relação à mesma unidade de tempo, no caso, em anos. Poderia também ser em meses, o que não alteraria a solução, pois neste caso teríamos:
J1 = (3/5)C.(0,18/12).8, ou seja a taxa mensal de juros seria 0,18/12 e o período 8 meses. Veja que dá no mesmo.
b) Seja J2 o juro produzido pelo capital restante, aplicado a 15% ao ano durante o mesmo período, ou seja,  
8 meses. Se foram aplicados inicialmente (3/5)C, o restante será (2/5)C pois  
(3/5)C + (2/5)C = (5/5)C = C.
Então, poderemos escrever, analogamente:
J2 = (2/5)C.(0,15).(8/12)  
Sabemos que o total de juros produzidos é igual a R$ 168,00. Logo,
J1 + J2 = 168
Substituindo os valores de J1 e J2 acima, vem que:
(3/5)C.(0,18).(8/12) + (2/5)C.(0,15).(8/12) = 168
Basta resolver a equação acima para obter o valor de C.
Lembrando que 3/5 = 0,6   e  2/5 = 0,4, vem:
(0,6).(0,18).(8/12).C + (0,4).(0,15).(8/12).C = 168
(0,108).(8/12).C + (0,060).(8/12)C = 168 
Colocando o termo comum (8/12)C em evidencia, fica:
(8/12)C(0,108 + 0,060) = 168
(8/12).C.(0,168) = 168
(8/12).C = 168/0,168 = 1000
(8/12).C = 1000
C = 1000 / (8/12) = 1000.(12/8) = 12000/8 = 1500.
Portanto, o capital aplicado foi igual a R$1500,00, o que nos leva tranqüilamente à alternativa D.
	Triplicando seu dinheiro
UESC – 2002 – Questão discursiva para o curso de Ciências Contábeis
UESC – Universidade Estadual de Santa Cruz – Ilhéus - BA
Sabendo-se que log 3 ( 0,48 e log (1,03) ( 0,012, determine o tempo, em meses, que um capital aplicado à taxa de juros compostos de 3 % a. m. será triplicado.
Solução:
Sabemos que o valor futuro S de um capital inicial P aplicado por n períodos a uma taxa i é dado por: 
S = P ( 1 + i ) n .
O problema fala claramente em triplicar o capital inicial P, ou seja, ao final do período, deveremos ter
S = 3.P .
Assim, fazendo S = 3P na fórmula acima, vem:
3P = P ( 1 + i ) n 
Simplificando, fica: 3 = (1 + i) n 
Substituindo o valor da taxa i que conforme o enunciado é igual a 3 % ao mês, ou seja 3/100 = 0,03 ao mês, teremos:
3 = (1 + 0,03) n = 1,03 n ou seja:
1,03n = 3
Ora, sabemos da teoria dos logaritmos que se 1,03n = 3 então n = log1,03 3, ou seja, n é o logaritmo de 3 na base 1,03.
 Sabemos também que logbN = logN / logb onde log N e log b são os logaritmos decimais de N e b, ou seja, são os logaritmos de N e b na base 10. Assim, teremos, substituindo os valores dados no enunciado:
log 3 ( 0,48 e log (1,03) ( 0,012
n = log 1,03 3 = log 3 / log 1,03 = 0,48 / 0,012 = 0,480 / 0,012 = 480 / 12 = 40.
Portanto, o capital inicial será triplicado em 40 meses.
Observe que foram utilizados valores aproximados para os logaritmos decimais, seguindo orientação do enunciado da questão. Se utilizarmos valores mais aproximados para os logaritmos (com 5 casas decimais, por exemplo) :
log 3 = 0,47712 e log 1,03 = 0,01284 (utilize uma calculadora – a do Windows serve) e efetuando as contas , obteremos n = 0,47712 / 0,01284 ( 37 meses. 
Notas: 
1 – os logaritmos dos números reais podem ser determinados através do uso das tábuas de logaritmos. As tábuas ou tabelas de logaritmos decimais constam dos compêndios de Matemática do segundo grau. Com o advento das calculadoras científicas, pouco ou nenhum uso se faz hoje em dia dessas tabelas, que simplificaram sobremaneira os cálculos numéricos numa época em que não existiam calculadoras de bolso nem computadores, no sentido que entendemos hoje. 
2 – os logaritmos foram inventados no início do século XVII, pelo esforço conjunto de grandes matemáticos, a exemplo de John Napier (escocês – 1550/1617), Jobst Bürgi (suíço – 1552/1632) e Henry Briggs (inglês – 1556/1631). A idéia original entretanto, coube a John Napier.
 
	A taxa SELIC
A taxa SELIC (Sistema Especial de Liquidação de Custódias) é a taxa de juro básica da economia brasileira. Segundo li nos jornais, ela é a taxa de juro praticada nos empréstimos diários feitos entre os bancos comerciais e o BC – Banco Central do Brasil. 
As taxas de juros cobradas pelo mercado são balizadas pela mesma. 
A taxa Selic estava fixada em 26,50 % ao ano (26,50% a.a).
Na semana passada, a referida taxa foi diminuída para 26%, após reunião do COPOM – Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil.
Nestas condições, pede-se calcular:
1) a taxa Selic mensal atual.
2) a taxa Selic diária atual.
Solução:
Nota: Custódia – segundo o dicionário Melhoramentos – 7ª edição, significa: guarda ou detenção de coisa alheia, que se administra e conserva, até a entrega ao seu dono legítimo.
Vamos resolver o item (1)
A taxa de juro anual atual é de 26% ao ano. Vamos calcular a taxa Selic mensal.
A solução deste simples problema depende do conhecimento de taxas equivalentes. 
Não farei alusão à teoria necessária, pois ela está contida no link anterior neste mesmo site, que você deve visitar.
Teremos então:
(1 + ia) = (1 + im)12 onde ia é a taxa de juro anual e im é a taxa de juro mensal.
Como ia = 26% = 26 / 100 = 0,26, vem:
1 + 0,26 = (1 + im)12
1,26 = (1 + im)12
(1 + im)12 = 1,26
Da igualdade anterior vem: 1 + im = 1,26 (1 / 12)
Para o cálculo de 1,26 (1 / 12) temos que recorrer a uma calculadora (a do Windows serve).
Teremos:
1 + im = 1,26 (1 / 12) = 1,26 0,08333 = 1,0194
Então, como 1 + im = 1,0194 vem imediatamente que im = 1,0194 –1 = 0, 0194
Para expressar o valor encontrado em porcentagem, basta multiplicar por 100. Logo,
im = 0,0194 . 100 = 1,94 % ao mês = 1,94 % a.m.
Portanto, a taxa Selic anual de 26% eqüivale à taxa Selic mensal de 1,94%.
Resolvendo o item 2:
Vamos agora calcular a taxa Selic diária relativa à taxa Selic anual de 26%.
Conforme está explicado no arquivo taxas equivalentes , teremos:
Nota: o ano comercial é considerado como 360 dias.
Então: 1 + ia = (1 + id) 360 onde id é a taxa de juro diária.
Como ia = 26% = 26 / 100 = 0,26, vem:
1 + 0,26 = (1 + id) 360
1,26 = (1 + id) 360
Logo, vem:
1 + id = 1,26 1 / 360
Ora, 1/360 = 0,0028
Então: 1 + id = 1,26 0,0028 = 1,00065
Daí, concluímos finalmente que id = 1,00065 – 1 = 0,00065
Para obter o valor em porcentagem, basta multiplicar por 100.
id = 0,00065 .100 = 0,065% ao dia = 0,065% a.d.
Agora resolva este:
Uma taxa de juro anual de 1,25% (1,25 % a.a) eqüivale a qual a taxa de juro mensal?.
Resposta: aproximadamente 0,1035 % ao mês = 0,1035 % a.m.
	Mat Fin - Valor Presente Líquido - Analisando investimentos
Considere um fluxo de caixa como o indicado na figura a seguir, onde o investimento Co produz as receitas C1, C2, C3, ... , Cn, nos períodos 1, 2, 3, ... , n respectivamente, a uma determinada taxa de juros i por período considerado. A taxa i é a taxa de juros da operação financeira ou também conhecida como a taxa de retorno do investimento.
Já sabemos que o valor presente - PV (Present Value) das receitas C1, C2, C3, ... , Cn é dado por:
Chama-se Valor Presente Líquido - VPL, à diferença PV - Co, ou seja: VPL = PV - Co
A coisa funciona assim: para análise da rentabilidade de um certo investimento, o empresário fixa uma taxa de retorno do investimento que seja aceitável do seu ponto de vista e calcula o VPL usando esta taxa de juros esperada.
Como a lógica do capitalismo é a obtenção de lucro, um investimento somente será atrativo quando o valor presente - PV das receitas obtidas ( C1, C2, C3, ... , Cn ) for superior ao investimento inicial Co, e, portanto, deveremos ter VPL > 0, para que o investimento seja considerado atrativo ou rentável. Neste caso se VPL> 0, conclui-se que a taxa efetiva de retorno será seguramente maior do que a taxa de retorno do investimento previamente fixada , o que significa que o investimento é rentável.
Se VPL < 0, diz-se que o investimento não é rentável, pois neste caso, a taxa efetiva de retorno será menor do que a taxa de retorno do investimento previamente fixada. 
Se VPL = 0, temos uma espécie de investimento sem lucro. Neste caso, a taxa de juros i é denominada taxa interna de retorno - TIR. Nas calculadoras financeiras HP 12C, a taxa interna de retorno - TIR é obtida através da tecla IRR. 
Nota: nas calculadoras financeiras HP 12C o valor presente líquido - VPL é obtido através da tecla NPV que significa Net Present Value. 
Exercício resolvido:
Uma indústria pretende adquirir equipamentos no valor de US$55000,00, que deverão proporcionar receitas líquidas a partir de 2005 conforme tabela a seguir:
	Ano
	Receitas líquidas (US$)
	2005
	15500
	2006
	18800
	2007
	17200
	2008
	17200
	2009
	17200
	2010
	13500
Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no ano 2010 é estimado em US$9000,00 e que a taxa de retorno esperada é igual a 21% a. a. , pede-se analisar se o investimento planejado é rentável.
Solução:
Temos:
Investimento inicial = Co = 55000
Receitas: C1 = 15500, C2 = 18800, C3 = C4 = C5 = 17200; no sexto ano a receita será C3 = 13500 + 9000 = 22500, pois teremos 13500 do ano mais o preço de revenda 9000.
Teremos então:
VPL para uma taxa de juros i = 21 % a. a. = 21 /100 = 0,21 a. a.  1 + i = 1 + 0,21 = 1,21
Substituindo na fórmula do VPL vem:
VPL = VP - Co = 
= 15500 / 1,211 + 18800 / 1,21 2 + 17200 / 1,21 3 + 17200 / 1,214 + 17200 / 1,215 + 22500 / 1,21 6 - 55000 
Usando uma calculadora científica (a do windows serve), teremos:
VPL = 12809,92 + 12840,65 + 9708,95 + 8023,93 + 6631,34 + 7169,19 - 55000 = + 2183,98
Ora, como o Valor Presente Líquido - VPL é um valor positivo, infere-se que o investimento é rentável e poderá ser feito pois a taxa efetiva de retorno será certamente superior aos 21% a. a. esperados pela indústria.
Usando a calculadora financeira HP 12C , a seqüência de comandos seria:
f CLEAR reg
55000 CHS g Cfo
15500 g CFj
18800 g Cfj
17200 g Cfj
17200 g Cfj
17200 g CFj
22500 g Cfj
RCL n (aqui vai aparecer no visor o número 6, pois são 6 valores no fluxo de caixa)
21 i (lembre-se que a taxa i é 21%)
f NPV (teclar f e em seguida NPV)
Aparecerá no visor da calculadora o valor 2.183,9868
Agora resolva este:
Resolva o problema anterior, considerando uma taxa de retorno esperada igual a 25% a. a.
Resposta: NPV = - 3.182,1440 (como o Valor Presente Líquido é negativo, o investimento não seria rentável pois neste caso, a taxa efetiva de retorno seria menor do que os 25 % a. a. esperados pela indústria).
	Rumo ao Hexa na Copa 2010 e outros investimentos no recôncavo baiano
1 – UFRB 2006 - Dois investimentos a uma mesma taxa mensal de juros compostos, porém com capitais iniciais e prazos distintos, resultaram  em um mesmo montante. 
Sabendo  que o capital inicial de um dos investimentos é 21 % maior que o outro e que foi aplicado a um prazo de dois meses menor, em termos percentuais, a taxa mensal de juros do investimento é igual a:
a) 5%           
b) 8%         
c) 10%               
d) 20%                
e) 9%
Notas: 
I - UFRB – Universidade Federal do Recôncavo Baiano
II – Recôncavo – é conhecida desde o século XVI como sendo a faixa de terra formada por mangues, baixios e tabuleiros que contornam a Baía de Todos os Santos na BAHIA.
SOLUÇÃO: 
Recomendamos enfaticamente que você revise Juros Compostos. 
Sejam C0 e P0 os capitais iniciais, aplicados a uma mesma taxa de juros i , por m e n períodos, respectivamente. 
Supondo que o investimento C0 é o maior, ou seja: C0 > P0 ,  poderemos escrever de acordo com o enunciado: 
C0 = P0 + 21% . P0 = P0 + (21/100). P0 = P0 + 0,21. P0 = 1,21. P0
Ainda segundo o enunciado, C0 foi aplicado por um prazo m de dois meses menor, ou seja: m = n – 2.
Já sabemos que um capital M0 aplicado por t períodos a uma taxa de juros compostos i, irá gerar o montante M dado por: M = M0. (1 + i)t.
No nosso caso presente, poderemos então escrever: 
C = C0. (1 + i)m = 1,21. P0. (1 + i)n – 2
P = P0. (1 + i)n
Como é dito no enunciado que os montantes resultaram iguais, então C = P.
Igualando as expressões anteriores, vem:
1,21. P0. (1 + i)n – 2  = P0.(1 + i)n 
Cancelando o fator P0 que é comum a ambos os membros da igualdade, fica:
1,21.(1 + i)n – 2  = (1 + i)n
Dividindo ambos os membros da igualdade por (1 + i)n – 2 , fica:
1,21 = (1 + i)2 
Apenas para facilitar as contas, vou multiplicar ambos os membros por 100.
1,21.100 = 100.(1 + i)2
121 = 100. (1 + i)2
Considerando que 112 = 121 e que 102 = 100, vem: 
112 = 102. (1 + i)2
Lembrando que para  x  0, raiz quadrada de (x2) = x, vem imediatamente que:
11 = 10(1 + i)
Dividindo ambos os membros por 10, fica:
1,1 = 1 + i   i = 1,1 – 1 = 0,1
Portanto, i = 0,1. Como o enunciado pede o valor de i em porcentagem, teremos que multiplicar por 100 ou seja: i = 0,1.100 = 10% que é a resposta da questão, o que nos leva tranquilamente à alternativa C.
2 - No ano de 1970, quando o Brasil conquistou o TRI CAMPEONATO MUNDIAL no mês de  junho, a nossa população era igual a 90 milhões de habitantes. Neste ano 2006, em junho, mês  do provável HEXA CAMPEONATO MUNDIAL, a população segundo dados do IBGE é igual a 190 milhões de habitantes. 
Nestas condições, pede-se determinar a taxa média de crescimento mensal da população brasileira no período.
SOLUÇÃO:  
Ora, de junho 1970 a junho 2006, transcorreram 2006 – 1970 = 36 anos, ou seja:
36.12 = 432 meses
Considerando que P = P0 . (1 + i)n , onde i é a taxa de crescimento por período nos n períodos, poderemos escrever:
190000000 = 90000000 . (1 + i)432  onde i é a taxa de crescimento procurada.
19 = 9 (1 + i)432
19/9 = (1 + i)432
2,11 = (1 + i)432
Para fazer a conta acima, temos três alternativas:
I – usar logaritmo decimal
II – usar uma calculadora científica (a do Windows serve)
III – usar uma calculadora financeira ( a HP 12C, por exemplo)
Vamos utilizar a opção III, considerando-se que este arquivo destina-se à seção Matemática Financeira do site.
Observe que a igualdade acima pode ser escrita como 2,11 = 1. (1 + i)432.
Tudo funciona como se tivéssemos P0 = 1 e P = 2,11, ou seja:
P0 = Valor Presente = PV (Present Value) = 1
P = Valor Futuro = FV (Future Value) = 2,11
Os comandos na HP 12C serão:
2,11     FV
1          CHS    PV
432      n
i           ENTER 
A calculadora vai apresentar a mensagem RUNNING no visor e apresentará após alguns segundos o resultado procurado: 0,17
Ou seja, a taxa de crescimento mensal da população brasileira no período é igual a 0,17% a.m. (0,17% ao mês).
Se você quiser calcular a taxa de crescimento anual usando a calculadora financeira HP 12C, os comando seriam:
2,11     FV
1          CHS    PV
36        n
i           ENTER
Nota: 36, porque são 36 anos de 1970 a 2006.
A calculadora vai apresentar a mensagem RUNNING no visor e apresentará após alguns segundos o resultado procurado: 2,10
Ou seja, a taxa de crescimento anual da população brasileira no período é igual a 
2,10% a.a  (2,10% ao ano).
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CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL