Gabarito da 11ª Lista

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GABARITO 
1. 
a) g(x) = ∫ ( ) ( ) 
 
 
 
 
g’(x) = (x) (x ) 
 
b) f(x) = ∫ 
 
 
 
 
f’(x) = ( 
 ) ( ) . ( ) 
 = 
 
 . 
 = 
 
 
 
c) h(x) = ∫ ( ) 
 
 
 
 = ∫ ( ) 
 
 
 + ∫ ( ) 
 
 
 
 = ∫ ( ) 
 
 
 + ∫ ( ) 
 
 
 
Logo, 
h’(x) = x.cos(2x) + ( ) ( ) 
 = x.cos(2x) + ( ) 
 
 
2. 
a) ∫
 
 
 
 { = 
 
 = 
 
 = ∫
 
 
 
 = ln|u| + C = ln( ) + C 
b) ∫ (
√ 
 
 ) 
 
 
{
 
 
 
 
 = 
 = 
 
 
 = = 
 = √ = 
 
 
 = ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 [ ( )] 
 = 
 
 
 ( – ) = 
 
 
 ( ) = 
 
c) ∫ √ 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 = 
 = 
 
 
 
 = = 
 = = 
 
 
= ∫ √ 
 
 
 (
 
 
) 
= 
 
 
∫ √ 
 
 
 = 
 
 
 [
 
 
 
 
 ] 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
(a) y = x2 + 1 , y = 3 - x2, x = -2 , x = 2 
 
Pode-se resolver a alternativa (a), de duas maneiras. 
(1ª Solução) 
Tem-se que a área A, será: 
A= ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 = [
 
 
 ] 
 [ 
 
 
] 
 [
 
 
 ] 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 8 
 
 
 
(2ª Solução) 
A = ∫ | ( )| 
 
 
 
 = ∫ | | 
 
 
 
 Como a função é par, 
 = 2∫ | | 
 
 
 
 | | = {
 ( ) 
 
 
 Assim, 
 = 2.[∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ] 
 = 2.([ 
 
 
 ] 
 [
 
 
 ] 
 
) 
 = 2.{[ 
 
 
 ] + [
 
 
 (
 
 
 )]} 
 = 2.(
 
 
 
 
 
) = 8 
 
(b) y = 3x2 , y = 8x2, 4x+y = 4 , x ≥ 0 
 
 
 
 (*) Determinação de a : 
 Função: y = 8x
2 
(1) Reta: y = 4 4x (2) 
 Substituindo (2) em (1), tem-se: 
 8 = = {
 = ( )
 =
 
 
 
 Portanto a = 
 
 
 
 
 
 
 
 (**) Determinação de b : 
 Função: y = 3x
2 
(3) Reta: y = 4 4x (4) 
 Substituindo (4) em (3), tem-se: 
 = {
 = ( )
 =
 
 
 
 Logo =
 
 
 
 
 Com isso, a área A será: 
 A= ∫ ( ) ∫ [( ) ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = ∫ ( ) ∫ [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 5. 
 
 
] 
 
 [ ] 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
4. Considere a figura a seguir: 
 
(a) Pelo método do fatiamento 
 
A(y) = 
 = = ( ) 
 = [ ( ) ] 
 = ( ) 
 
V =∫ ( ) =
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 = 2 ∫ ( ) 
 
 
 
 = 2 .[ 
 
 
 
 
 
 ] 
 = 
 
 
=
 
 
 
 
(b) Pelo método das cascas cilíndricas 
 
dV = 2 = ( √ ) 
 
V = ∫ ( √ ) 
 
 
 = 4 ∫ √ 
 
 
 
 {
 = = 
 = 
 = = 
 = = 
 
 
V = 4π∫ ( ) √ 
 
 
 
 = ∫ ( 
 
 
 
 )
 
 
 
 = [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ] 
 
 = (
 
 
 
 
 
 ) = 
 
 
=