Questão 7. Seja T : E→ E uma transformação linear. Mostre que a transformação linear T é injetiva se, e somente se, Ker(T ) = {0}.

Para mostrar que a transformação linear \( T: E \to E \) é injetiva se, e somente se, \( \text{Ker}(T) = \{0\} \), vamos analisar as duas direções da afirmação. 1. Se \( T \) é injetiva, então \( \text{Ker}(T) = \{0\} \): - Por definição, uma transformação linear \( T \) é injetiva se \( T(x_1) = T(x_2) \) implica que \( x_1 = x_2 \). - Se \( x \in \text{Ker}(T) \), então \( T(x) = 0 \). - Se \( T \) é injetiva, a única solução para \( T(x) = 0 \) deve ser \( x = 0 \). Portanto, \( \text{Ker}(T) \) só contém o vetor nulo, ou seja, \( \text{Ker}(T) = \{0\} \). 2. Se \( \text{Ker}(T) = \{0\} \), então \( T \) é injetiva: - Suponha que \( T(x_1) = T(x_2) \) para \( x_1, x_2 \in E \). - Isso implica que \( T(x_1) - T(x_2) = 0 \), ou seja, \( T(x_1 - x_2) = 0 \). - Como \( x_1 - x_2 \in \text{Ker}(T) \) e \( \text{Ker}(T) = \{0\} \), temos que \( x_1 - x_2 = 0 \), o que implica que \( x_1 = x_2 \). - Portanto, \( T \) é injetiva. Assim, concluímos que \( T \) é injetiva se, e somente se, \( \text{Ker}(T) = \{0\} \).