Para mostrar que a função \( T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x, y) = c(x, y) \) é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades fundamentais de transformações lineares: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^2 \). 2. Homogeneidade: \( T(k \cdot u) = k \cdot T(u) \) para todo \( u \in \mathbb{R}^2 \) e \( k \in \mathbb{R} \). Vamos verificar essas propriedades: 1. Aditividade: Sejam \( u = (x_1, y_1) \) e \( v = (x_2, y_2) \). Então, \[ T(u + v) = T((x_1 + x_2, y_1 + y_2)) = c(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (c \cdot (x_1 + x_2), c \cdot (y_1 + y_2)). \] Por outro lado, \[ T(u) + T(v) = T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2) = (c \cdot x_1, c \cdot y_1) + (c \cdot x_2, c \cdot y_2) = (c \cdot x_1 + c \cdot x_2, c \cdot y_1 + c \cdot y_2). \] Portanto, \( T(u + v) = T(u) + T(v) \). 2. Homogeneidade: Seja \( k \in \mathbb{R} \) e \( u = (x, y) \). Então, \[ T(k \cdot u) = T(k \cdot (x, y)) = T((k \cdot x, k \cdot y)) = c(k \cdot x, k \cdot y) = (c \cdot (k \cdot x), c \cdot (k \cdot y)). \] Por outro lado, \[ k \cdot T(u) = k \cdot T(x, y) = k \cdot (c \cdot x, c \cdot y) = (k \cdot c \cdot x, k \cdot c \cdot y). \] Portanto, \( T(k \cdot u) = k \cdot T(u) \). Como ambas as propriedades são satisfeitas, podemos concluir que \( T \) é uma transformação linear. Quando \( c > 0 \), \( T \) é chamado de operador semelhança, pois preserva a direção dos vetores, apenas escalando-os. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!