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Álgebra Linear

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Questão 10. Para cada uma das transformações lineares T dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

a) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+2y−3z, 2x+5y−4z, x+4y+ z).
b) T : R4 → R3, definida por T (x, y, z, t) = (x+ 2y + 3z + 2t, 2x+ 4y + 7z + 5t, x+ 2y + 6z + 5t).
c) T : R3 → R2, definida por T (x, y, z) = (x+ y + z, 2x+ 2y + 2z).
d) T : R3 → R2, definida por T (x, y, z) = (x+ y, y + z).
e) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x− y, y).
f) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x+ y, x− y).

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Questão 1. Verifique quais das transformações abaixo são lineares.

a) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x− y, 0).
b) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x− 1, y + z).
c) T : R2 → R2, T (x) = (xy, y).
d) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (|x|, y + z).
e) T : R2 → R2, T (x, y) = (x− y, y)
f) T : R2 → R2, T (x, y) = (x, αy), α ∈ R

Questão 2. Seja E um espaço vetorial sobre R. Dado α ∈ R chama-se Homotetia determinada por α a aplicação Hα : E→ E tal que Hα(u) = αu, ∀u ∈ E. Mostre que Hα é um operador linear de E.

Questão 3. Seja E = C([0, 1]) o espaço vetorial das funções continuas de [0, 1] em [0, 1]. Mostrar que é um operador linear a aplicação T : E → E definida por T (f(t)) = f(t)ϕ(t), ∀f ∈ E onde ϕ(t) é um elemento fixo de E.

Questão 4. Seja E um espaço vetorial sobre R, dado w ∈ E, chama-se translação definida por w a aplicação Tw : E→ E definida por Tw(u) = u+ w, ∀ ∈ E. Mostre que se w 6= 0, então T não é Linear.

Questão 5. Seja T : R2 → R2 um operador linear e sabendo que T (1, 2) = (3,−1) e T (0, 1) = (1, 2). Encontre T (x, y), onde (x, y) é um vetor arbitrário do R2.

Questão 6. Seja E = R2. Mostre que a função T : R2 → R2 definida por T (x, y) = c(x, y), ∀c ∈ R é uma transformação linear. Quando c > 0, T é chamado de operador semelhança.

Questão 7. Seja T : E→ E uma transformação linear. Mostre que a transformação linear T é injetiva se, e somente se, Ker(T ) = {0}.

Questão 8. Sejam E , F espaços vetoriais sobre R e T : E→ F uma transformação linear. Mostre que Im(T ) é um subespaço de F e ker(T ) é um subespaço de E.

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Questão 2. Seja E um espaço vetorial sobre R. Dado α ∈ R chama-se Homotetia determinada por α a aplicação Hα : E→ E tal que Hα(u) = αu, ∀u ∈ E. Mostre que Hα é um operador linear de E.

Questão 3. Seja E = C([0, 1]) o espaço vetorial das funções continuas de [0, 1] em [0, 1]. Mostrar que é um operador linear a aplicação T : E → E definida por T (f(t)) = f(t)ϕ(t), ∀f ∈ E onde ϕ(t) é um elemento fixo de E.

Questão 4. Seja E um espaço vetorial sobre R, dado w ∈ E, chama-se translação definida por w a aplicação Tw : E→ E definida por Tw(u) = u+ w, ∀ ∈ E. Mostre que se w 6= 0, então T não é Linear.

Questão 5. Seja T : R2 → R2 um operador linear e sabendo que T (1, 2) = (3,−1) e T (0, 1) = (1, 2). Encontre T (x, y), onde (x, y) é um vetor arbitrário do R2.

Questão 6. Seja E = R2. Mostre que a função T : R2 → R2 definida por T (x, y) = c(x, y), ∀c ∈ R é uma transformação linear. Quando c > 0, T é chamado de operador semelhança.

Questão 7. Seja T : E→ E uma transformação linear. Mostre que a transformação linear T é injetiva se, e somente se, Ker(T ) = {0}.

Questão 8. Sejam E , F espaços vetoriais sobre R e T : E→ F uma transformação linear. Mostre que Im(T ) é um subespaço de F e ker(T ) é um subespaço de E.

Questão 9. Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que Im(T ) = [(1, 0, 0,−1), (0, 1, 1, 0)].

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