Questão 9. Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que Im(T ) = [(1, 0, 0,−1), (0, 1, 1, 0)].

Para determinar uma transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 \) tal que a imagem \( \text{Im}(T) \) seja gerada pelos vetores \( (1, 0, 0, -1) \) e \( (0, 1, 1, 0) \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Definir a matriz da transformação: A matriz \( A \) que representa a transformação linear \( T \) terá 4 linhas e 3 colunas, pois estamos mapeando de \( \mathbb{R}^3 \) para \( \mathbb{R}^4 \). 2. Escolher os vetores da imagem: Os vetores que geram a imagem são \( v_1 = (1, 0, 0, -1) \) e \( v_2 = (0, 1, 1, 0) \). Precisamos garantir que a matriz \( A \) tenha esses vetores como colunas. 3. Completar a matriz: Como a imagem é gerada por dois vetores, precisamos de um vetor adicional para completar a matriz. Podemos escolher um vetor que não altere a imagem, como \( (0, 0, 0, 0) \). 4. Montar a matriz: Assim, a matriz \( A \) pode ser escrita como: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 5. Definir a transformação: A transformação linear \( T \) pode ser definida como \( T(x, y, z) = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \). Com isso, a transformação \( T \) mapeia \( \mathbb{R}^3 \) para um subespaço de \( \mathbb{R}^4 \) gerado pelos vetores desejados.