Integração Numérica

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Integração Numérica
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor Dr. Leandro Blass
Tópicos 
 – Regra dos trapézios
 – Regra de Simpson 1/3
 – Regra de Simpson 3/8
 A área do trapézio é dada por:
 Assim, temos que: 
 que é a área do trapézio de altura h = x1 – x0 e bases
f(x0) e f(x1).
   
   
2
1
bfaf
abfI


 ,)()(
2
10 xfxf
h
IT 
n
ab
h


a =x0 b = x1
P
0
f(x)
p1(x)f(x1)
f(x0)
     
1
0
1
( ) 2
2
b n
n i
ia
h
f x dx f x f x f x


 
   
 

 Exemplo 1 :Calcule a integral de no 
intervalo [0,1] com 10 intervalos
xexf )(
0 0,1 0,9 1
0,1
10
( (0) 2 (0,1) 2 (0,2) 2 (0,3)
2
2 (0,4) 2 (0,5) 2 (0,6) 2 (0,7)
2 (0,8) 2 (0,9) (1))
( 2 ... 2 )
2
1,72
n
n
n
b a
h
h
I f f f f
f f f f
f f f
h
I e e e e
I

 
    
   
 
    

Exemplo 2:
 Calcular usando a regra dos trapézios com 5
intervalos.
 Um possível procedimento
é o indicado na tabela.
 p é o número pelo qual f(xn) é
multiplicada na expressão da integral
e  p f(x) indica a soma dos termos
entre colchetes, na mesma expressão.
 0 1 2 3 4 5( ) 2 2 2 2
2
b
a
h
f x dx f f f f f f     
 

2
0
1 x
dx
I
x f(x) p pf(x)
0,00 1,0000 1 1,0000
0,40 0,7143 2 1,4286
0,80 0,5556 2 1,1111
1,20 0,4545 2 0,9091
1,60 0,3846 2 0,7692
2,00 0,3333 1 0,3333
2 0
0,4
5
h

 
0,4
( ) 5,5513 1,1103
2 2
h
I pf x   
 Exercício 3: Calcular a integral da função tabelada 
abaixo, usando a regra dos trapézios, e estimar o erro.
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
f(x) 0,000 0,164 0,268 0,329 0,359 0,368
 Solução Exercício 3 : i x F(x) p
0 0,0 0,000 1
1 0,2 0,164 2
2 0,4 0,268 2
3 0,6 0,329 2
4 0,8 0,359 2
5 1,0 0,368 1
2,0
5
01





n
ab
h
 0 1 2 3 4 5( ) 2 2 2 2
2
b
a
h
f x dx f f f f f f     
  2608,01,0608,2
2
2,0
0,36810,3592
0,32920,26820,1642000,01
)(









 dxxf
b
a
Bibliografia Básica
 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo
numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. Ed.
São Paulo: Makron Books, 1996.
 FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Prentice
Hall, 2006.
 BURDEN, R. L., FAIRES, J. D. Análise Numérica. 8ª ed.
Thomson Learning, 2008.
Regra de Simpson 1/3
 Também conhecida como regra do 1/3 de Simpson, este
método aproxima os pontos da tabela por equações do
2º grau. A equação geral para a primeira regra de
Simpson é:
 Regra repetida de Simpson:
   
0
0
2
2 0 1 2y 4 y y
3
x h
x
h
p x dx

  
       
1
2 2
0 2 1 2
1 1
4 2
3
n n
j j n
j j
h
I f x f x f x f x


 
 
    
 
  
 
Exemplo 1:
 Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1]
através da regra 1/3 de Simpson
   
0
0
2
2 0 1 2
1
0 0,5 1
0
y 4 y y ;
3
1 0
2 0,5
2
0,5
4 1,718861152
3
x h
x
x
h
p x dx
b a
h n h
n
e dx e e e

  
 
      
     


Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Exercício 2: Estimar a integral de e^x no intervalo de
zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3
vezes
   
1 1 2 3 4 5
0 16 6 6 6 6
0
1 0
2 3 6 0,16666666666
6
0,1666
4 2 4 2 4
3
30,92920506 0,055555555 1,71828917
x
b a
h n h
n
e dx e e e e e e e
 
        
 
        
 
 

 Exemplo 3: Calcule a integral , utilizando n=4
intervalos de .
 De acordo com a primeira regra de Simpson:

4
1
1
dx
x
75,0
4
14





m
ab
h
 1;4
i x y
0 1 1
1 1,75 0,571
2 2,5 0,4
3 3,25 0,308
4 4 0,25
 2 0 1 2 3 4
2
2
. 1. 4. 2. 4. 1.
3
0,75
.(1.1 4.0,571 2.0,4 4.0,308 1.0,25)
3
0,25.(5,566) 1,3915
h
I y y y y y
I
I
    
    
 
Bibliografia Básica
 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo
numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. Ed.
São Paulo: Makron Books, 1996.
 FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Prentice
Hall, 2006.
 BURDEN, R. L., FAIRES, J. D. Análise Numérica. 8ª ed.
Thomson Learning, 2008.
Regra de Simpson 3/8
 Também conhecida como regra dos 3/8 de Simpson,
este método aproxima os pontos da tabela por equações
do 3º grau. A equação geral para a segunda regra de
Simpson é:
 Onde os ci são iguais a 1, para c0 e cn, 2 para os “i”
múltiplos de 3 e, 3 para os demais.
 O número de subintervalos “m” deve ser múltiplo de 
3.






 

m
i
ii yc
h
I
1
3 ..
8
.3
 Exemplo:
 Calcule a integral , utilizando n=6 intervalos.
 Solução: Colocamos os dados em forma de tabela, para
facilitar a interpretação:

4
1
1
dx
x
5,0
6
14





m
ab
h
 De acordo com a primeira regra de Simpson:
i x y c c.y
0 1 1 1 1
1 1,5 0,667 3 2,001
2 2,0 0,500 3 1,500
3 2,5 0,400 2 0,800
4 3,0 0,333 3 0,999
5 3,5 0,286 3 0,858
6 4,0 0,250 1 0,25
 3 0 1 2 3 4 5 6
3
3
3
3.
1. 3. 3. 2. 3. 3. 1.
8
3.0,5
.(1.1 3.0,667 3.0,5 2.0,4 3.0,333 3.0,286
8
1.0,25)
0,1875.(1 2,001 1,5 0,8 0,999 0,858 0,25)
0,1875.(7,408) 1,3890
h
I y y y y y y y
I
I
I
      
     

      
 
Bibliografia Básica
 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo
numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. Ed.
São Paulo: Makron Books, 1996.
 FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Prentice
Hall, 2006.
 BURDEN, R. L., FAIRES, J. D. Análise Numérica. 8ª ed.
Thomson Learning, 2008.