Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Última atualização 03/02/2011 O início da teoria das matrizes remonta um artigo de Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a idéia de matriz preceda a de determinante, historicamente ocorreu o contrário: de fato, os determinantes já eram usados há muito na resolução de sistemas lineares. (Hygino H. Domingues) A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVIII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares. Hoje em dia, embora não sejam um instrumento prático para resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas. (Gelson Iezzi & Samuel Hazzan) ÁREA1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Disciplina: Álgebra Linear Professor(a): _____________________________ Data _____ / _____ / _____ Aluno(a): ___________________________________________ Turma______ 1 a . Lista de Exercícios Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 2 Questão 1. Determine o produto xy para que se tenha 1 2 18 4 1 1 3 4 x y x y y x . Questão 2. Considere as seguintes matrizes: 43 21 A , 76 05 B , 562 431 C , 43 21 D e 116 45 E . a) Determine BA 25 e BA 32 . b) Determine AAA2 e AC. c) Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, DE = ED) e A e B não comutam (isto é, AB BA). Questão 3. Determine, se possível, x R para que a matriz 0x1x x40x 1x20 3 2 seja: a) simétrica. b) anti-simétrica. Questão 4. Considere A 2 1 1 3 4 3 5 5 4 . Mostre que A é idempotente, isto é, que AA 2 . Questão 5. Sejam 12 01 B 10 31 A 1 e . Determine, se possível, a matriz X tal que 111t BX.A . Questão 6. Sejam 84 41 C 1 2 B 53 21 A e , . Determine, se possível, a matriz X tal que CX.BA . Questão 7. Em cada item, determine a matriz iB linha equivalente à matriz iA realizando sobre as linhas de iA a seqüência de operações elementares dadas. a) 0010 0300 1000 0031 A1 ; 42 LL ; 211 L3LL ; 33 L 3 1 L b) 4010 0062 A2 ; 11 L 2 1 L ; 211 L3LL c) 120 120 030 A3 ; 11 L 3 1 L ; 122 L2LL ; 133 L2LL ; 233 LLL Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 3 Questão 8. Determine a matriz iB que está na forma LRFE e que é linha equivalente à matriz iA , para i = 1, 2, 3, 4. a) 010 500 042 A1 b) 22000 10410 00211 A2 c) 0205 0062 A3 d) 42 32 50 00 A 4 Questão 9. Considere o sistema 0wz2y 4z2y6x2 . Determine: a) A matriz ampliada. b) O posto da matriz ampliada. c) A matriz dos coeficientes e o seu posto. O sistema é possível? d) A nulidade da matriz dos coeficientes. Quantas variáveis livres possui o sistema? e) O conjunto solução desse sistema. Questão 10. Considere que as matrizes iA , dadas a seguir, são matrizes ampliadas de sistemas de equações lineares. Verifique se esses sistemas são possíveis e determine o conjunto solução Si dos mesmos. 0210 3101 A1 , 0000 0110 0201 A2 , 000 030 210 001 A3 , 1100 1010 0202 A4 Questão 11. Considere as matrizes M e N dadas a seguir e, em cada item, determine o conjunto solução dos sistemas. 1000 0110 0201 M 0 2 1 N a) M é a matriz dos coeficientes do sistema linear homogêneo S1: 0XM . b) M é matriz ampliada do sistema S2. c) M é matriz dos coeficientes do sistema linear S3: NXM . Questão 12. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: a) 4345 1223 1022 zyx zyx zyx b) 034 032 02 zyx zyx zyx c) 333 142 2222 12 wx wzyx wzyx wzyx d) 577 3252 4 zyx zyx zyx e) 0652 032 zyx zyx f) 2 4 4 0 tzyx tzyx tzyx tzyx Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 4 Questão 13. Considere a matriz A aij x 3 3 , tal que a i j i j i j i j j i i j ij , , , 2 . Determine X na equação AX B , onde B 2 2 2 . Questão 14. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer. a) 1253 12 422 zyx zyx zyx b) 0zyx 0z2y2 0zy3x c) 13 12 0 zyx zyx zyx Questão 15. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa. a) A 1 3 2 7 b) B 2 5 1 4 1 2 0 4 1 c) C 1 1 2 3 2 4 0 1 2 Questão 16. Resolva o sistema 178 3352 532 zx zyx zyx , usando inversão de matrizes. Questão 17. Numa equação química balanceada o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos produtos. Por exemplo, OH2OH2 222 . Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão facilmente. Assim em cada caso a seguir, encontre a equação química balanceada (mínima). (a) OHNONH 2223 . (b) 222115 COOHOOHHC (c) OHCOOHC 222104 . Observação. amôniaNH3 , oxigênioO2 , nitrogênioN2 , águaOH2 , carbonodedióxidoCO2 , ecosgliOHC 6126 e otanbugásHC 104 . Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 5 Questão 18. Análise de redes. Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que fluem os fluxos, entrando e/ou saindo. E em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída. Exemplo: Com estas considerações, determine os possíveis fluxos da rede de encanamento de água mostrado na figura a seguir, onde o fluxo é medido em litros por minuto. Questão 19. (Ita 2005) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de a) R$ 17,50. b) R$ 16,50. c) R$ 12,50. d) R$ 10,50. e) R$ 9,50. Questão 20. Numa empresa existiam três tipos de funcionários. Feito um levantamento dos salários recebidos nos últimos três meses observou-se que: i) Cada funcionário do tipo I recebeu R$300,00 no 1o mês, R$ 400,00 no 2o mês e 400,00 no 3o mês. ii) Cada funcionário do tipo II recebeu R$300,00 no 1o mês, R$ 500,00 no 2o mês e 600,00 no 3o mês. iii) Cada funcionário do tipo IIIrecebeu R$400,00 no 1o mês, R$ 500,00 no 2o mês e 500,00 no 3o mês. Se no 1o mês a soma dos salários desses funcionários foi R$10.000,00, no 2o mês R$14.000,00 e no 3o mês R$15.000,00, quantos funcionários de cada tipo havia na empresa? 10 20 10 5 4f 30 A B C D 3f 1f 5 2f 15 2015ff 21 20 1f 2f Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 6 Q1. 10 Q2. a) 5 10 27 34 17 4 12 13 e b) 7 6 9 22 5 9 6 5 33 32 e Q3. a) x 0 b) x 2 Q5. 2x2 15 01 Q6. 2x1 31 Q7. a) 1000 0100 0010 0001 B1 b) 4010 12001 A2 c) 000 100 010 A3 Q8. a) 100 010 001 B1 b) 11000 10410 10601 B2 c) 015/210 05/201 B3 d) 00 00 10 01 B4 Q9. a) 01210 40262 A b) posto(A) = 2 c) 1210 0262 C , posto(C) = 2. Como o posto(A) = posto(C) podemos concluir que o sistema S é possível. d) Nulidade(C) = 2. O número de variáveis livres é igual a nulidade da matriz dos coeficientes, daí o sistema S possui duas variáveis livres e portanto é uma sistema possível e indeterminado. e) Escalonando a matriz A obtemos a matriz 01210 23501 B , que corresponde ao sistema S’ equivalente ao sistema dado: 0wz2y 2w3z5x :'S wz2y 2w3z5x Assim, o conjunto solução do sistema S = Rw,z;w,z,wz2,2w3z5 . Q10. a) 0z2y 3zx 0210 3101 A1 , Rz;z,z2,z3S1 . b) zy z2x 0000 0110 0201 A2 , Rz;z,z,z2S2 . c) 000 100 010 001 000 100 210 001 000 600 210 001 000 030 210 001 A 322 33 233 L2LL L 6 1 L L3LL 3 Respostas Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 7 Observe que posto da matriz dos coeficientes é dois e o posto da matriz ampliada é três. Desse modo o sistema é impossível e, portanto o conjunto solução S2 = . d) 1100 1010 1001 1100 1010 0101 1100 1010 0202 A 311 11 LLL L 2 1 L 4 , 1,1,1S3 . Q11. a) 0w 0zy 0z2x 01000 00110 00201 Rz;0,z,z,z2S1 b) 10 0zy 0z2x 1000 0110 0201 M Observe que posto da matriz dos coeficientes é dois e o posto da matriz ampliada é três. Desse modo o sistema é impossível e, portanto o conjunto solução S2 = . c) 0w 2zy 1z2x 01000 20110 10201 . Rz;0,z,z2,z21S3 . Q12. a) x y z, , , , 12 3 b) R ;,, c) R ,;,,2,1 d) não existe solução. e) R );,0,3( f) x y z t, , , , , , 1 12 2 Q13. 1 1 1 X Q14. a) x y z, , , , 5 2 2 b) x y z, , , , 0 0 0 c) x y z, , , , 1 4 1 8 3 8 Q15. a) A 1 7 3 2 1 b) B 1 1 6 1 6 1 6 2 27 1 27 4 27 8 27 4 27 11 27 c) C não é inversível. Q16. 2,1,1,, zyx Q17. a) )6,2,3,4( b) )10,12,15,2( c) )10,8,13,2( Q18. )f,f20,f5,f15( 4444 , onde 5f0 4 . Q19. Letra D Q20. 10 funcionários de cada tipo
Compartilhar