Introdução à Integração Definida

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Cálculo Aplicado - Profa. Rosely Bervian 
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INTRODUÇÃO À 
INTEGRAÇÃO 
 DEFINIÇÃO 1. Uma função F(x) é chamada 
uma primitiva ou antiderivada da função f(x) 
em um intervalo I, se para todo x  I, tem-se 
F’(x) = f(x). 
EXEMPLOS: 
4
3 4 3
a) F(x) x é uma primitiva da função 
f(x) 4x , pois F'(x) (x )' 4x .

  
b) F(x) senx é uma primitiva da função a
f(x) cosx, pois F'(x) (senx)' cosx.

  
c) F(x) cosx é uma primitiva da função 
f(x) senx, pois F'(x) (cosx)' senx.

    
x
x x x
d) F(x) e é uma primitiva da função 
f(x) e , pois F'(x) (e )' e .

  
e) F(x) ln|x| é uma primitiva da função 
1 1
f(x) , pois F'(x) (ln|x|)' .
x x

  
 2 2
f) F(x) arctg(x) é uma primitiva da função 
1 1
f(x) , pois F'(x) arctg(x) ' .
1 x 1 x

  
 
 PROPOSIÇÃO. Se F(x) é uma primitiva da 
função f(x), então a função F(x)+C, onde C é 
uma constante qualquer, também é uma 
primitiva de f. 
x
x x x
h) F(x) e C é uma primitiva da função 
f(x) e , pois F'(x) (e C)' e .
 
   
x
x x x
g) F(x) e 2 é uma primitiva da função 
f(x) e , pois F'(x) (e 2)' e .
 
   
 DEFINIÇÃO 2. Se F(x) é uma primitiva de f(x), 
então chamamos F(x) + C de integral indefinida 
de f(x) e é representada por . 
 De acordo com esta notação, o símbolo  é chamado 
sinal de integração e f(x) é a função integrando. O 
símbolo dx serve para identificar a variável de 
integração. 
f(x)dx
 f(x)dx F(x) C 
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PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 
  ii) f(x) g x dx f(x)dx g(x)dx    
Sejam f e g funções definidas num intervalo I e K 
uma constante. 
i) kf(x)dx k f(x)dx 
* Algumas integrais imediatas 
EXEMPLOS: 
1) 3dx
2) xdx
23) x dx
 4) 2x cos(x) dx
3
2x5) 3x 5 dx
2
 
  
 

2 3
2 1
6) 1 dx
x x
 
  
 

1
7) x dx
x
 
 
 

x18) e dx
x
 
 
 

 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA 
DE VARIÁVEL 
Sejam f(x) e F(x) funções tais que F’(x) = f(x). 
Suponhamos a existência da função composta 
F(g(x)). Então 
(F(g(x)))' F'(g(x)).g'(x) f(g(x)).g'(x) 
Assim, temos que F(g(x)) é uma primitiva da função 
f(g(x)).g’(x), ou seja: 
f(g(x)).g'(x)dx F(g(x)) C 
Fazendo u = g(x) e du = g’(x)dx, temos: 
u udu
f( ). F( ) Cg(x) g'(x)dx g(x) 
f(u)du F(u) C 
Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) 
conveniente, para que a integral obtida seja mais 
simples. 
Vejamos alguns exemplos! 
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EXEMPLOS: 
 9) cos 3x dx
1
10) dx
x 2
 11) sen 4x dx
12) sen(x)cos(x)dx
13) tg(x)dx
 214) 2xcos x 1 dx
ln(x)
15) dx
5x
 
4
16) 2x 1 dx
x
17) dx
x 1
xe
18) dx
x