Resumo_primitivas

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Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Departamento de Matemática
Resumo de primitivas em R
Elaborado pelo docente Milton Ferreira
Definição de primitiva
Seja f uma função real de variável real definida num intervalo I. Uma função F (x) diferenciável em
I é uma primitiva de f(x) se
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.
Observações
� A primitiva de uma função f(x) não é única pois se F (x) é uma primitiva de f(x) então também
F (x) + C, com C ∈ R é uma primitiva de f(x), visto que (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x).
� Num intervalo todas as primitivas de uma dada função diferem apenas de uma constante real.
Notação de integral indefinido ou primitiva∫
f(x) dx = F (x) + C, C ∈ R
Propriedades de linearidade∫
(f(x)± g(x)) dx =
∫
f(x) dx±
∫
g(x) dx∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx, k ∈ R
Exemplo∫
(2x2 + 5x− 3) dx = 2
∫
x2 dx+ 5
∫
x dx− 3
∫
1 dx =
2x3
3
+
5x2
2
− 3x+ C, C ∈ R
Primitiva da função composta
Pela regra de derivação da função composta temos que
(G(f(x)))′ = G′(f(x))f ′(x).
Portanto, se G(x) é uma primitiva de g(x) então G(f(x)) é uma primitiva de g(f(x))f ′(x), ou
seja, ∫
g(f(x))f ′(x) dx = G(f(x)) + C, C ∈ R
Tabela de primitivas imediatas
Uma tabela de primitivas imediatas é basicamente uma tabela de derivadas apresentada ao
contrário, com alguns ajustes. Apresentamos uma ideia como é posśıvel construir uma tabela de
primitivas imediatas a partir de regras de derivação. Esta tabela foi retirada do Livro “Cálculo”de
Howard Anton, pág. 357.
Incorporando a regra da primitiva da função composta é posśıvel generalizar as fórmulas anterio-
res. O formulário de primitivas imediatas disponibilizado no Moodle contém as fórmulas
mais gerais com a incorporação da função composta nas regras de primitivação.
TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO
Para primitivar funções que não têm primitiva imediata necessitamos de recorrer a técnicas de pri-
mitivação, tais como: primitivação por partes, primitivação de funções racionais e primi-
tivação por substituição de variável.
Primitivação por partes
Sejam f e g definidas em ]a, b[ e suponhamos que F é uma primitiva de f. Então temos:∫
f(x)g(x) dx = F (x)g(x)−
∫
F (x)g′(x) dx.
Exemplo 1: Calcular
∫
xex dx
Vamos considerar f(x) = ex e g(x) = x. Como F (x) = ex e g′(x) = 1 temos∫
xex︸︷︷︸
fg
dx = xex︸︷︷︸
Fg
−
∫
ex1︸︷︷︸
Fg′
dx
= xex − ex + C, C ∈ R
Em cada situação a escolha das funções f e g tem de ser feita corretamente porque temos de
primitivar a função f e derivar a função g. A tabela seguinte dá alguns exemplos de escolhas das
funções f e g em diferentes situações.
Função f (a primitivar) g (a derivar)
h(x)ax ax h(x)
h(x) sinx sinx h(x)
h(x) cosx cosx h(x)
h(x) loga x h(x) loga x
h(x) arctanx h(x) arctanx
Exemplo 2: Calcular
∫
lnx dx
Vamos considerar f(x) = 1 e g(x) = ln x. Como F (x) = x e g′(x) =
1
x
, temos∫
1 lnx︸ ︷︷ ︸
fg
dx = x lnx︸ ︷︷ ︸
Fg
−
∫
x
1
x︸︷︷︸
Fg′
dx
= x lnx− x+ C, C ∈ R
Exemplo 3: Calcular
∫
(x2 + 3x) cos(2x) dx
Vamos aplicar a fórmula da primitivação por partes duas vezes. Começamos por considerar
f(x) = cos(2x) e g(x) = x2 + 3x. Como F (x) =
1
2
sin(2x) e g′(x) = 2x+ 3, temos∫
(x2 + 3x) cos(2x) dx =
1
2
sin(2x)(x2 + 3x)− 1
2
∫
sin(2x)(2x+ 3) dx
=
x2 + 3x
2
sin(2x)− 1
2
(
−1
2
cos(2x)(2x+ 3) +
1
2
∫
cos(2x)2 dx
)
=
x2 + 3x
2
sin(2x) +
2x+ 3
4
cos(2x)− 1
4
sin(2x) + C, C ∈ R
Primitivação de algumas potências de funções trigonométricas
Para primitivar potências de funções trigonométricas é necessário recorrer a fórmulas trigonométricas
auxiliares para tornar o cálculo mais simples e direto. Algumas fórmulas que podem ser utilizadas
são:
sin2(x) + cos2(x) = 1 1 + tg2(x) = sec2(x) 1 + cotg2(x) = cosec2(x)
sin2(x) =
1
2
(1− cos(2x)) cos2(x) = 1
2
(1 + cos(2x)) sin(2x) = 2 sinx cosx
Exemplo 1: ∫
cos2(x) dx =
1
2
∫ (
1 + cos(2x)
)
dx
=
1
2
(
x+
1
2
sin(2x)
)
+ C, C ∈ R
Exemplo 2: ∫
sin2(3x) dx =
1
2
∫ (
1− cos(6x)
)
dx
=
1
2
(
x− 1
6
sin(6x)
)
+ C
=
1
2
x− 1
12
sin(6x) + C, C ∈ R
Primitivação de funções racionais
Chama-se função racional a qualquer função da forma
P (x)
Q(x)
, onde P e Q são polinómios.
Caso 1: Quando o grau de P é maior ou igual do que o grau de Q então começamos por efetuar
a divisão inteira dos polinómios, reescrevendo a função racional na forma
P (x)
Q(x)
= q(x) +
r(x)
Q(x)
em que q(x) e r(x) são o quociente e o resto da divisão inteira, respetivamente.
Caso 2: Quando o grau de P é menor do que o grau de Q a função racional diz-se própria. Caso
não seja uma primitiva imediata (por aplicação das regras 1), 3) ou 11) do formulário das primitivas
imediatas) então temos de decompor a função própria numa soma de funções racionais mais simples.
Começamos por fatorizar o polinómio Q(x) de acordo com as suas ráızes e em seguida decompomos
P (x)
Q(x)
numa soma de frações mais simples, tendo em conta o teorema seguinte.
Teorema 1 A decomposição de uma fração própria
P (x)
Q(x)
em frações simples é feita de acordo com
os seguintes casos:
(i) Se Q(x) possui uma raiz real simples α, isto é, na sua fatorização aparece o fator (x−α), então
na decomposição da fração própria em frações simples aparece a parcela
A
x− α
,
com A uma constante real a determinar.
(ii) Se Q(x) possui uma raiz real α, com multiplicidade n, isto é, na sua fatorização aparece o fator
(x− α)n, então na decomposição da fração própria em frações simples aparecem n parcelas
A1
x− α
+
A2
(x− α)2
+ . . .
An
(x− α)n
,
onde A1, A2, . . . , An são constantes reais a determinar.
(iii) Se Q(x) possui as ráızes complexas simples α ± βi, isto é, na sua fatorização aparece um
polinómio da forma ax2 + bx + c com b2 − 4ac < 0, então na decomposição da fração própria
em frações simples aparecem as parcelas
Cx+D
ax2 + bx+ c
,
com C e D constantes reais a determinar.
(iv) Se Q(x) possui as ráızes complexas α ± βi, com multiplicidade n, isto é, na sua fatorização
aparece um fator da forma (ax2 + bx+ c)n com b2 − 4ac < 0, então na decomposição da fração
própria em frações simples aparecem n parcelas
C1x+D1
ax2 + bx+ c
+
C2x+D2
(ax2 + bx+ c)2
+ . . .+
Cnx+Dn
(ax2 + bx+ c)n
onde C1, C2, . . . , Cn e D1, D2, . . . , Dn são constantes reais a determinar.
Exemplos de primitivas usando a decomposição em frações simples
(i) Calcular
∫
x− 1
x2 + 3x+ 2
dx
Temos que x2 + 3x+ 2 = (x+ 1)(x+ 2). Consideramos a decomposição em frações simples
x− 1
x2 + 3x+ 2
=
x− 1
(x+ 1)(x+ 2)
=
A
x+ 1
+
B
x+ 2
.
Reduzindo ao mesmo denominador obtemos a igualdade
x− 1 = A(x+ 2) +B(x+ 1) .
Substituindo x = −2 e x = −1 (ráızes do polinómio do denominador) obtemos o sistema{
−3 = −B
−2 = A
⇔
{
B = 3
A = −2
.
Logo, ∫
x− 1
x2 + 3x+ 2
dx =
∫
−2
x+ 1
dx+
∫
3
x+ 2
dx
= −2 ln |x+ 1|+ 3 ln |x+ 2|+ C, C ∈ R.
(ii) Calcular
∫
1
x(x− 1)2
dx
Consideramos a decomposição em frações simples
1
x(x− 1)2
=
A
x
+
B
x− 1
+
C
(x− 1)2
Reduzindo ao mesmo denominador obtemos a igualdade
1 = A(x− 1)2 +Bx(x− 1) + Cx .
Substituindo x = 1, x = 0 e x = 2 obtemos o sistema
1 = C
1 = A
1 = A+ 2B + 2C
⇔

A = 1
B = −1
C = 1
.
Logo, ∫
1
x(x− 1)2
dx =
∫
1
x
dx+
∫
−1
x− 1
dx+
∫
1
(x− 1)2
dx
= ln |x| − ln |x− 1| − 1
x− 1
+ C, C ∈ R.
(iii) Calcular
∫
2x+ 4
x(x2 + 4)
dx
Consideramos a decomposição em frações simples
2x+ 4
x(x2 + 4)
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 4
Reduzindo ao mesmo denominador obtemos a igualdade
2x+ 4 = A(x2 + 4) + (Bx+ C)x .
Substituindo x = 0, x = 1 e x = −1 obtemos o sistema
1 = A
6 = 5A+ C +D
2 = 5A− (−C +D)
⇔

A = 1
B = −1
C = 2
.
Logo, ∫
2x+ 4
x(x2 + 4)
dx =
∫
1
x
dx+
∫
−x+ 2
x2 + 4
dx
= ln |x| −
∫
−x
x2 + 4
dx+
∫
2
x2 + 4
dx+ C, C ∈ R
= ln |x| − 1
2
ln(x2 + 4) + arctg
(x
2
)
+ C, C ∈ R
Primitivação por substituição de variável
Suponhamosque se pretende calcular
∫
f(x) dx e que se faz a mudança de variável x = g(t) com g
uma função invert́ıvel e diferenciável. Então temos:∫
f(x) dx =
∫
f(g(t))g′(t) dt = F (t) + C = F (g−1(x)) + C.
No formulário das primitivas encontra-se uma tabela com algumas substituições aconselhadas para
o cálculo de determinados integrais usando a técnica da primitivação por substituição de variável.
Exemplo 1: Para calcular a primitiva
∫
1
1 +
√
x
dx fazemos a substituição
√
x = t, ou seja,
x = t2, t > 0. Como g(t) = t2 e g′(t) = 2t temos:∫
1
1 +
√
x
dx =
∫
1
1 + t
2t dt
= 2
∫
t
t+ 1
dt
= 2
(∫ (
1− 1
t+ 1
)
dt
)
= 2 (t− ln |t+ 1|) + C.
Como t =
√
x, então voltando à variável inicial obtemos finalmente a primitiva pretendida:∫
1
1 +
√
x
dx = 2
(√
x− ln |
√
x+ 1|
)
+ C, C ∈ R
Exemplo 2: Para calcular a primitiva
∫ √
4− x2 dx fazemos a substituição x = 2 sin t, com t ∈
[−π/2, π/2]. Como g(t) = 2 sin t e g′(t) = 2 cos t temos:∫ √
4− x2 dx =
∫ √
4− 4 sin2 t 2 cos t dt
= 4
∫
cos2 t dt
= 2
(∫ (
1 +
1
2
cos(2t)
)
dt
)
= 2
(
t+
1
2
sin(2t)
)
+ C
Como x = 2 sin t, então sin t =
x
2
e t = arcsin
(x
2
)
. Por outro lado, como sin(2t) = 2 sin t cos t
então
sin(2t) = 2
x
2
√
1−
(x
2
)2
=
1
2
x
√
4− x2.
Voltando à variável inicial x obtemos finalmente a primitiva pretendida:∫ √
4− x2 dx = 2 arcsin
(x
2
)
+
1
2
x
√
4− x2 + C, C ∈ R .
Exemplo 3: Para calcular a primitiva
∫
e2x + e4x
2 + e2x
dx fazemos a substituição e2x = t, ou seja,
x = 1
2
ln t. Como g(t) =
1
2
ln t e g′(t) =
1
2t
temos:∫
e2x + e4x
2 + e2x
dx =
∫
t+ t2
2 + t
· 1
2t
dt
=
1
2
∫
1 + t
2 + t
dt
=
1
2
(∫ (
1− 1
t+ 2
)
dt
)
= 2 (t− ln |t+ 2|) + C.
Como t = e2x, então voltando à variável inicial x obtemos finalmente a primitiva pretendida:∫
e2x + e4x
2 + e2x
dx =
1
2
(
e2x − ln |e2x + 2|
)
+ C, C ∈ R .